Bem..., tenho que admitir: Você tem razão...
Mas basta aplicar o método para a divisão de polinômios proposto por Briot-Ruffini (*) para mostrar facilmente que os coeficientes de q(x) são todos inteiros. (*): p(x)=q(x)(x-alfa) , sendo "alfa" uma das raízes inteiras de p(x) . Aliás, esse tal de Ruffini era mesmo esperto: mostrou que não há solução analítica para equações de grau superior ou igual a 5. Obrigado pela lembrança! Sds., 2008/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> > Cara, eu acho que a solução está certa, mas falta um detalhe... e > pouco trivial na minha opinião : > > 2008/9/16 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > > Se "alfa" é raiz de "p(x)" , então "p(x)" é divisível por "(x – alfa)" . > Certo, mas em que sentido de divisível ? O que a gente pode dizer é > que o polinômio tem raízes complexas, e portanto esta tal > divisibilidade se dá em C[X]. Bom, como alpha é inteiro (e logo real), > a gente pode fazer um pouco melhor (porque as raízes complexas vindo > aos pares, o que sobra é sempre um polinômio com coeficientes reais), > e conseguir R[X]. Daí, é um pulinho pra Q[X], porque é só "fazer as > contas" e ver que o polinômio tem que ter coeficientes racionais (mas > nada sabemos, ainda, sobre o denominador) > > > Logo, existe um polinômio "q(x)" , tal que "(x – alfa).q(x) = p(x)" . > Exatamente, mas qual é a cara deste polinômio que é a questão : a > discussão acima mostra que os coeficientes de q(x) são racionais. > > > Obviamente, o grau de "q(x)" é igual a "n–1" . > Claro ! > > > Seguindo sua notação: seja q(x) = b0.x^(n–1) + b1.x^(n–2) + ... + bn–1 > > O termo independente de "(x – alfa).q(x)" é "–(bn–1).alfa" . > > Como "(x – alfa).q(x) = p(x)" , este termo independente é igual ao termo > > independente de "p(x)", i.e., "an" . > > Logo: an = –(bn–1).alfa ; logo: an/alfa = –bn–1 . > > Como "bn–1" é inteiro, "alfa" é divisor de "an" . > Esta é a parte difícil (ao meu ver) do problema... Provar que se um > polinômio a coeficientes inteiros divide outro, também a coeficientes > inteiros, dando um quociente racional e resto zero, ENTÃO o quociente > tem coeficientes inteiros também. Repare que este resultado, mesmo que > pareça "óbvio", não é tão fácil assim de demonstrar : os coeficientes > dos dois polinômios poderiam "conspirar" para dar um produto com > coeficientes inteiros, mas algum de origem ter uma fração. Esse > resultado é tão importante, que tem até nome ! > > > 2008/9/16 Robÿffffe9rio Alves <[EMAIL PROTECTED]> > >> > >> Suponha que p(x) = a0.x^n + a1.x^n-1 ? ... + an-1.x + an seja um > polinomio > >> de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 diferente de 0, a1, a2, > >> ..., an são números inteiros. Seja ( alfa ) um número inteiro. Prove > que se > >> ( alfa ) for raiz de P(x), en~~ao (alfa ) será um divisor do termo > >> independente an. > >> > >> Como faz ??? > > > > -- > > Saudações, > > AB > > [EMAIL PROTECTED] > > [EMAIL PROTECTED] > > > > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Saudações, AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
