Acho que dá pra resolver mais facilmente, sem entrar em transformações
lineares, auto-vetores e auto-valores.
Começo só com algumas definições pra ficar tudo claro.
(diagz = matriz diagonalizável, diag = matriz diagonal)
Def: Uma matriz é diagz se ela é semelhante a uma matriz diag.
Def: A ~ B (A semelhante a B) se existe P, invertivel, tal que A = P B
P^(-1)
Muito bem. Vamos agora à demonstração.
Seja A diagz e invertv. Então existe D diag e P invertivel tq A = P D
P^(-1).
Sabemos que se X, Y são invert, XY tb o será e (XY)^(-1) = Y^(-1) X^(-1)
(exercício: prove isso).
Invertemos então dessa forma a expressão que relaciona A e D.
A^(-1) = (P^(-1))^(-1) D^(-1) P^(-1)
Isto é:
A^(-1) = P D^(-1) P^(-1)
Assim, A^(-1) ~ D^(-1).
Evidentemente D^(-1) é diag (e [D^(-1)]_{i,i} = ([D]_{i,i}), donde
concluímos a demonstração.
Bruno
2008/8/20 <[EMAIL PROTECTED]>
> Se A é diagonalizável, então existe uma base em R^n
> (n = número de linhas/colunas de A) formada por autovetores de A:
>
> X = { v_1, v_2, ..., v_n }.
>
> Isto significa que:
>
> A(v_i) = lambda_i * v_i, onde lambda_i é o autovalor
> associado ao autovetor v_i.
>
> Note que, como A é invertível, temos lambda_i != 0, para todo i.
>
> Seja B = A^-1 (inversa de A).
>
> Na equação:
>
> A(v_i) = lambda_i * v_i,
>
> aplicando B nos dois lados, temos:
>
> v_i = B( lambda_i * v_i ) => ( 1/lambda_i ) * v_i = B( v_i ).
>
> Isto mostra que todo autovetor v_i de A é também autovetor de B,
> com autovalor 1/lambda_i.
>
> Portanto a mesma base X serve para diagonalizar B.
> Nesta base, B tem a forma:
>
> Diag[ 1/lambda_1, 1/lambda_2, ..., 1/lambda_n ].
>
> - Leandro.
>
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
