Ola' Otavio e colegas da lista, sera' que alguem teria uma solucao diferente para o problema 4?
1) Considere um triangulo isosceles ABC , de base unitaria AB e lados iguais a sqrt(3) (ou raiz quadrada de 3). Se os vertices A e B forem da mesma cor, terminamos aqui. Caso eles tenham cores diferentes, entao pelo menos um deles tem cor diferente da cor de C. Sem perda de generalidade, suponhamos que este seja o vertice A. Seja M o ponto medio de AC. Passando por M, trace o segmento unitario DE, ortogonal 'a AC, de forma que M tambem seja ponto medio de DE. Repare que ADE , e CDE formam 2 triangulos equilateros unitarios. Caso os vertices D e E tenham cores iguais, terminamos aqui. Caso tenham cores diferentes, um deles tera' a mesma cor que A ou C, pois sao 4 vertices (lembre-se que A e C tem cores diferentes) e existem apenas 3 cores. Logo, ha' dois pontos com a mesma cor, situados a 1 unidade um do outro. 2) Qualquer que seja a distancia D, sempre podemos construir um triangulo equilatero de lado D, que necessariamente tera' pelo menos 2 vertices da mesma cor. 3) Divida o plano em duas regioes (superior e inferior) com uma reta horizontal, e marque 3 pontos sobre ela. Necessariamente pelo menos dois desses pontos serao da mesma cor. Da esquerda para a direita, chame-os de "A" e "B" . Seja "L" a distancia entre eles, "X" a cor de ambos, e "Y" a outra cor utilizada para pintar o plano. Ainda sobre essa reta, marque os pontos "C" e "D", ambos 'a direita de "B" , tal que BC = L e CD = L. Marque, na parte superior do plano, os vertices superiores E, F e G dos respectivos triangulos equilateros com bases AB, BC e CD. Marque, na parte inferior do plano, os vertices inferiores H e I dos respectivos triangulos equilateros com bases AB e BC. Se cor(E)=X , teriamos o triangulo equilatero ABE com seus vertices da cor X, e a demonstracao terminou. Entao, suponhamos cor(E)=Y. Da mesma forma, se cor(H)=X , terminamos. Entao, suponhamos cor(H)=Y. Repare que os pontos E, H e C formam um triangulo equilatero. Portanto, se cor(C)=Y, terminariamos aqui. Entao, suponhamos cor(C)=X. Mas, se cor(F)=X ou cor(I)=X, teriamos um triangulo equilatero (BCF ou BCI) na cor X, e terminariamos a prova. Assim, suponhamos cor(F)=Y e cor(I )=Y. Como os pontos F, I e D formam um triangulo equilatero, se cor(D)=Y, terminariamos aqui. Entao, suponhamos cor(D)=X. Logo, se cor(G)=X teriamos o triangulo equilatero GCD com vertices da mesma cor, e terminariamos. Assim, suponhamos cor(G)=Y. E neste ponto, verificamos que os pontos E, I e G , que formam um triangulo equilatero, teriam a mesma cor Y. Portanto, sempre e' possivel contruirmos um triangulo equilatero com vertices da mesma cor. 4) Sejam as cores A e B. Seja L = (raiz quadrada de 3) / 2 Trace um eixo horizontal (X) de coordenadas. Basta pintar o plano com faixas verticais alternando-se as cores, da seguinte forma: Pinte o intervalo [0, L) com a cor A. Repare que o intervalo e' fechado em 0 e aberto em L. Pinte o intervalo [L , 2L) com a cor B. Replique isso, indefinidamente, para os dois lados. 5) Corte 3 linhas paralelas (horizontais) com 9 paralelas verticais, determinando 9 grupos de 3 pontos alinhados verticalmente. Cada grupo de 3 pontos tera' necessariamente 2 pontos com a mesma cor. Como existem somente 2*2*2 = 8 formas diferentes de se pintar um grupo de 3 pontos com 2 cores, havera' pelo menos dois grupos com a mesma pintura entre os 9 grupos. Os pontos com repeticao de cor em cada um desses 2 grupos determinam os vertices do retangulo procurado. []'s Rogerio Ponce -------------------------------- 2008/7/24 Otávio Menezes <[EMAIL PROTECTED]>: > 1) Pinte o plano com três cores. Prove que há dois pontos com a mesma cor > situados a exatamente 1 unidade um do outro. > 2) Pinte o plano com duas cores. Prove que uma dessas cores contém pares de > pontos a qualquer distância entre si. > 3) Pinte o plano com duas cores. Prove que existe um triângulo equilátero > com todos os vértices da mesma cor. > 4) Mostre que é possível colorir o plano em duas cores de modo que não > exista um triâmgulo equilátero de lado 1 com todos os vértices da mesma cor. > 5) Pinte o plano em duas cores. Mostre que existe um retângulo com todos os > vértice da mesma cor. > > Os dois primeiros são muito fáceis, os outros são mais complicados. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
