Olá Bouskela, sobre o número de soluções ser menor ou igual a 4sqrt(4Cte/3) + 2, acredito que esteja correto. Mas sobre a multiplicidade, vc tem razão! Eu cheguei que: (a, b) ; (-a, -b) ; (b, a) ; (-b, -a) ; (a-b, a) ; (b-a, b) ; (a, a-b) ; (b, b-a) ; (b-a, -a) ; (a-b, -b) ; (-a, b-a) ; (-b, a-b) totalizando 12 soluções para cada encontrada. isso vale para a != b para a=b, temos que eliminar: (b, a) ; (-b, -a) ; (b-a, b) ; (b, b-a) ; (a-b, -b) ; (-b, a-b) sobrando apenas 6... Mas, para a != b, temos 12... e para a = b, temos 6... como 6*2 = 12, podemos afirmar que será múltiplo de 6 sempre.. caso eles não fossem multiplos, ai ficaria mais difícil afirmar alguma coisa.
não entendi pq meu desenvolvimento precisa ser ajustado para x ou y igual a zero. abraços, Salhab 2008/6/29 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > Olá Salhab! > > Você está perto da solução, entretanto, ainda faltam alguns ajustes: > > P.ex., se Cte=100 , então existem apenas 6 soluções para a eq. em estudo: > > (x, y) = (-10, -10) ; (10, 10) ; (10, 0) ; (-10, 0); (0, -10) e (0, 10) > > O mesmo acontece para Cte = 1, 3, 4, 9, 12, 16, 25, 27, 36, 48, 64, 75, 81, > 100 etc. > > Repare que quando "x" ou "y" são iguais a "0" seu desenvolvimento precisa > ser ajustado... > > Sds., > AB! > > ------------------------------ > *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em > nome de *Marcelo Salhab Brogliato > *Enviada em:* domingo, 29 de junho de 2008 21:16 > *Para:* [email protected] > *Assunto:* Re: [obm-l] x^2 - xy + y^2 = Cte > > Olá Bouskela, > suponha que o par (a, b) seja solução de x^2 - xy + y^2 = Cte > então, os pares (b, a), (-a, -b), (-b, -a) também são soluções. > Fatorando, temos: (x-y)^2 + xy = Cte. > Partindo dela, vemos que os pares (b-a, b) e (a-b, a), pois: > [(a-b)-a]^2 + (a-b)a = b^2 + a^2 - ab = Cte. > Portanto, provamos que sempre é múltiplo de 6. > Mas, se (b-a, b) e (a-b, a) são soluções, então (b, b-a) e (a, a-b) também > o são. > E, seguindo, temos que (a-b, -b), (-b, a-b), (-a, b-a) e (b-a, -a) também o > são. > Portanto, provamos que sempre é múltiplo de 12. > O que estou errando? > > Sobre o número finito de soluções, vamos analisar esta equação em função de > x, então, temos: > x = [y +- sqrt(y^2 - 4(y^2-Cte)]/2 = [y +- sqrt(4Cte - 3y^2)]/2 > isto é: 4Cte >= 3y^2 .... |y| <= sqrt(4Cte/3) > então, podemos ir chutando todos os y's possíveis e ir calculando os x's. > Mas, para cada y, teremos no máximo 2 x's.. portanto, temos um número > limitado de soluções. > Ainda podemos afirmar que o número de soluções é <= 2*[2sqrt(4Cte/3) + 1] = > 4sqrt(4Cte/3) + 2 > > abraços, > Salhab > > > > 2008/6/26 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > >> Demonstre que a equação: >> >> x^2 - xy + y^2 = Cte >> >> Onde "Cte" é uma constante inteira e positiva. >> >> Tem um número FINITO de soluções inteiras; e mais: ESTE NÚMERO É MÚLTIPLO >> DE "6". >> >> A depender do valor da constante inteira e positiva "Cte", o número de >> soluções inteiras desta equação é: >> >> = 0 , p.ex.: Cte = 2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 26, >> 29, 30, 32, 33, 34, 35, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54, 55, >> 56, 58, 59, 60, 62, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 77, 78, 80, 82, 83, 85, >> 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, 98, 99 etc. >> >> = 1 , Cte = 0 >> >> = 6 , p.ex.: Cte = 1, 3, 4, 9, 12, 16, 25, 27, 36, 48, 64, 75, 81, 100 >> etc. >> >> = 12 , p.ex.: Cte = 7, 13, 19, 21, 28, 31, 37, 39, 43, 52, 57, 61, 63, 67, >> 73, 76, 79, 84, 93, 97 etc. >> >> = 18 , p.ex.: Cte = 49 etc. >> >> = 24 , p.ex.: Cte = 91 etc. >> >> Sds., >> >> AB >> > >
