Olá!
Vamos resolver esse problema dividindo-o em duas etapas: na primeira,
nós determinaremos a expressão que define a correspondência entre a
área total do resevatório e o custo gasto com os materias; na segunda,
nós calcularemos o ponto de mínimo absoluto dessa função.
Designaremos, durante a resolução desse exercício, por V o volume do
resevatório, por b a medida da aresta da base e por h a altura do mesmo.
De acordo com o enunciado, o reservatório tem a forma de um prisma
quadrangular regular. Conseguintemente, a medida de sua altura coincide
com a medida de suas arestas laterais. Sabendo ainda que o volume
relaciona-se com os comprimentos das arestas lateral e da base pela equação
V = a²h, pode-se afirmar que h = V/a².
Agora que temos o valor de h, podemos determinar o valor da área
lateral e, consecutivamente, a lei que define a "função custo":
A(L) = 4ah = 4V/a (pois o prisma possui quatro faces laterais, todas
congruentes a um retângulo de lados a e h)
A(B) = 2a² (cada base é um quadrado de lado a)
Foram dados ainda que cada cm² do material que constitui as faces
laterais do prisma custa 1,5 real e que cada cm² do material que constitui
as bases do prisma custa 3,0 reais. Logo,
F(a) = 6a² + 6V/a = 6(a³ + V)/a
em que D(F) = R+ e Im(F) = R+.
Falta, então, apenas concretizar a segunda etapa: determinar o ponto
mínimo absoluto de F. A expressão que define a função derivada de F é
F'(a) = 6[3a³ - (a³ + V)]/a² = 6(2a³ - V)/a²
Seu único zero é a raiz cúbica de V/2.
Já função derivada segunda de F define-se por
F''(a) = 6[6(a²)² - 2a(2a³ - V)]/(a²)² = 12[(a²)² + aV)]/(a²)² = 12(a³
+ V)/a³
Visto que o valor de F'' na raiz de F' é positivo, inferimos que a
raiz cúbica de V/2 é o ponto de mínimo absoluto de F, dado que F não admite
outros extremantes.
Por fim, temos o que foi pedido:
a = raiz cúbica de V/2 = 9 x 1,588 = 14,282 (aproximadamente)
h = raiz cúbica de 4V = 18 x 1,588 = 28,584 (aproximadamente)
Acredito que seja esse o resultado esperado.
Abraços (:
Date: Tue, 20 Nov 2007 19:44:40 -0200
Subject: [obm-l] Uma ajuda aqui...Saulo.... Nel..e outros
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To: [email protected]
Sendo 5832 cm3 o volume de um reservatório de água com base quadrada, e 3 reais
por cm2 o preço do material da tampa e da base e 1,5 reais por cm2 o valor do
material para os lados, quais são as medidas desse reservatório tal que o custo
total do material seja mínimo possível.
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