"Nicolau C. Saldanha" wrote:
> On Nov 2, 2007 1:55 PM, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Oi, Lenadro, > > > > Dê uma olhada em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200611/msg00093.html > > Oi Nicolau: > Se x fosse algébrico irracional então y = 2^x seria transcendente > pois algébrico diferente de 0 e 1 elevado a algébrico irracional dá > transcendente. > Por outro lado y = x^2 é algébrico, absurdo. > > Claro que isso não exclui em princípio a possibilidade de x admitir > uma expressão > relativamente simples em termos de funções elementares (exp, log, sin, cos, > ...) > mas acho extremamente improvável que isto ocorra. > Você acha improvável porque 2^x admite representação em termos de série de potências ? E que não deveria haver uma composição destas representações em séries que levasse à solução da equação em termos de funções elementares (sin, cos, exp, ln, etc) ? Esse tópico parece interessante. Euler conseguiu provar que e^{ix} = cos x + i sen x usando representações em séries de potências, assim uma equação do tipo e^x = -1 admite muitas soluções para x imáginário (inclusive negativo). Pensei no seguinte: x^2 = 2^x 2 ln x = x ln 2 ln x = x (ln 2/ 2) x = e^(x ln 2 /2 ) x ^{2/ln 2} = e^x = 1 + x + x^2/2 + ...+ infinitos termos ==> 1 + x - x ^{2/ln 2} + x^2/2 + ... = 0 ou f(x) = 0 com f(x) = 1 + x - x ^{2/ln 2} + x^2/2 + ... = 0 o problema parece ser que o expoente de x é irracional do lado esquerdo de modo que deveriam haver infinitas composições de funções g_i (x) para que a função resultante fosse f(x). Em outras palavras, se g_1 * g_2 *... *g_n = f(x) então n--> oo. Se existisse n a solução seria: x = g_n^{-1} o ... o g_2^{-1} o g_1^{-1}(0) onde g_i^{-1} denota a inversa de g_i. Seria este o caminho para uma prova formal deste fato ? Ronaldo. > > N. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
