Olá Rodrigo,
são os números de Stirling (http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number).
vamos mostrar algumas coisas legais...
digamos que:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = Sum {k=1..n} S[n, k].x^k
então:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k
pegando a primeira e multiplicando por (x-n), temos:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^(k+1) ) - ( Sum
{k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=2..n+1} S[n, k-1].x^k ) - ( Sum
{k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=2..n} S[n+1, k].x^k + S[n+1, n+1].x^(n+1) + S[n+1, 1].x = ( Sum
{k=2..n} (S[n, k-1] - nS[n, k]).x^k ) + S[n, n].x^(n+1) - nS[n, 1].x
portanto:
S[n+1, 1] = -nS[n, 1]
S[n+1, k] = S[n, k-1] - nS[n, k] ... k=2, 3, ..., n
S[n+1, n+1] = S[n, n]
x=x... entao: S[1,1] = 1
x(x-1) = x^2 - x
S[2, 1] = -1.S[1, 1] = -1 ... ok!
S[2, 2] = S[1, 1] = 1 ... ok!
x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x
S[3, 1] = -2.S[2, 1] = -2.(-1) = 2 ... ok!
S[3, 2] = S[2, 1] - 2.S[2, 2] = -1 - 2.1 = -3 ... ok!
S[3, 3] = S[2, 2] = 1 ... ok!
x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x
S[4, 1] = -3.S[3, 1] = -3.2 = -6 .... ok!
S[4, 2] = S[3, 1] - 3.S[3, 2] = 2 - 3.(-3) = 11 ... ok!
S[4, 3] = S[3, 2] - 3.S[3, 3] = -3 - 3.1 = -6 ... ok!
S[4, 4] = S[3, 3] = 1 ... ok!
e assim por diante.. :)
abraços,
Salhab
On 10/27/07, Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Tente encontrar uma formula para os coeficientes da potência que
> aparecem na expansão de
>
> x(x-1)(x-2). ... (x-n)
>
> i.e
> x=x
> x(x-1)=x²-x
>
> x(x-1)(x-2)=x³-3x+2x
>
>
> x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4 -6x³+11x²-6x
>
> etc...
> (a fórmula existe, é uma recorrência de duas variáveis)
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> =========================================================================
>
