Ola' Henrique e colegas da lista, vamos 'as explicacoes!
Chamei de "N" o numero de figurinhas do album, todas diferentes entre si, que
e' a mesma variedade de figurinhas do nosso universo.
Chamei de "V" o numero de posicoes vagas no album em um determinado momento.
E' o mesmo que a quantidade de figurinhas que faltam para completarmos o album.
Consideramos que as figurinhas sao equiprovaveis, ou seja, as figurinhas que
ja' compramos nao afetam a probabilidade de obtermos uma determinada figurinha.
Essa probabilidade e' igual a 1/N, e permanece assim o tempo inteiro.
A probabilidade de conseguirmos exatamente uma figurinha que se encaixe em
alguma das posicoes vagas (repare que nao estou especificando qual a posicao
exata) sera' justamente a soma das probabilidades de cada uma, ou seja,
V*1/N = V/N.
E entao, apos, conseguirmos essa tal figurinha, havera' (V-1) posicoes a
serem preenchidas. Neste ponto, a probabilidade de conseguirmos uma figurinha
que se encaixe no album passa a ser
(V-1)/N , e assim por diante.
Observe que estamos calculando a quantidade media de figurinhas para
conseguirmos colar a 1a figunha no album (que nao tem relacao alguma com a
figurinha da posicao numero 1 do album).
Em seguida, queremos a quantidade de figurinhas para conseguirmos colar a 2a
figurinha no album, e assim por diante.
Obviamente e' muito mais facil colar a 1a figurinha no album (quando existem
N posicoes vagas, e qualquer figurinha serve) do que colar a ultima figurinha
no album (quando havera' apenas uma posicao vaga).
Se faltou alguma coisa, pode sinalizar!
Abracos a todos,
Rogerio Ponce
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Henrique Rennó
Sun, 14 Oct 2007 10:58:58 -0700
> Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a
> probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.
Esse N seria o número total de figurinhas do álbum?
V seria quantas ainda faltam?
A probabilidade de conseguirmos figurinhas para as V posições não seria o
somatório das probabilidades de conseguirmos uma figurinha para a posição v1,
para v2, ..., para vV ?
E essas probabilidades não dependem das quantidades dessas figurinhas
faltantes que ainda estão à venda?
--
Henrique
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Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola' pessoal,
uma das formas de se resolver seria calcular o resultado atraves da ponderacao
do total das figurinhas necessarias para completar o album inteiro, isto e', o
somatorio de "k" figurinhas multiplicado pela probabilidade de se completar o
album com exatamente "k" figurinhas, quando "k" varia de N ao infinito (para
"k" abaixo de N, a probabilidade de se completar o album vale zero).
Portanto a media vale
SOMATORIO k=[N,oo] { k * Prob_completar_album(N,k) }
Entretanto, o calculo de "Prob_completar_album(N,k)", isto e', a probabilidade
de se completar um album de N posicoes com exatamente k figurinhas (de um
universo de N figurinhas) me pareceu muito enrolado, e acabei tomando um
caminho mais simples.
Basta percebermos que a media das figurinhas necessarias para completarmos o
album vale o mesmo que a soma das medias das figurinhas necessarias para
ocuparmos cada uma das N posicoes do album.
E quanto vale cada uma dessas parcelas?
Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a
probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.Isto
significa que, na media, a cada N figurinhas compradas, V figurinhas poderiam
ser encaixadas nas posicoes vagas (nao necessariamente em vagas
distintas!).Dividindo isso por V, significa que, na media, precisamos comprar
N/V figurinhas para conseguirmos um encaixe quando houver V posicoes vagas.
Assim, na media, precisaremos comprar:
N/N figurinhas para conseguirmos colar a 1a. figurinha no album
N/(N-1) figurinhas para conseguirmos colar a 2a. figurinha no album
e assim sucessivamente, ou seja, na media serao necessarias
N*[1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N] figurinhas.
Abracos a todos,
Rogerio Ponce
Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Oi, gente,
Considere uma revista de "figurinhas" com N figurinhas distintas. Qual
o número médio de figurinhas que se deve comprar para "completar" o
álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a uma).
Nehab
PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele...
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