Ola' pessoal,
uma das formas de se resolver seria calcular o resultado atraves da ponderacao
do total das figurinhas necessarias para completar o album inteiro, isto e', o
somatorio de "k" figurinhas multiplicado pela probabilidade de se completar o
album com exatamente "k" figurinhas, quando "k" varia de N ao infinito (para
"k" abaixo de N, a probabilidade de se completar o album vale zero).
Portanto a media vale
SOMATORIO k=[N,oo] { k * Prob_completar_album(N,k) }
Entretanto, o calculo de "Prob_completar_album(N,k)", isto e', a probabilidade
de se completar um album de N posicoes com exatamente k figurinhas (de um
universo de N figurinhas) me pareceu muito enrolado, e acabei tomando um
caminho mais simples.
Basta percebermos que a media das figurinhas necessarias para completarmos o
album vale o mesmo que a soma das medias das figurinhas necessarias para
ocuparmos cada uma das N posicoes do album.
E quanto vale cada uma dessas parcelas?
~
Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a
probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.Isto
significa que, na media, a cada N figurinhas compradas, V figurinhas poderiam
ser encaixadas nas posicoes vagas (nao necessariamente em vagas
distintas!).Dividindo isso por V, significa que, na media, precisamos comprar
N/V figurinhas para conseguirmos um encaixe quando houver V posicoes vagas.
Assim, na media, precisaremos comprar:
N/N figurinhas para conseguirmos colar a 1a. figurinha no album
N/(N-1) figurinhas para conseguirmos colar a 2a. figurinha no album
e assim sucessivamente, ou seja, na media serao necessarias
N*[1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N] figurinhas.
Abracos a todos,
Rogerio Ponce
Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Oi, gente,
Considere uma revista de "figurinhas" com N figurinhas distintas. Qual
o número médio de figurinhas que se deve comprar para "completar" o
álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a uma).
Nehab
PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele...
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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