Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = =
\delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
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