Há várias mensagens do professor Nicolau na lista explicando com
detalhes o que significa
incompletude e inconsistência. Se eu tentar explicar detalhadamente
acho que vou confundir mais do que
explicar como já tentei fazer outras vezes, mesmo porque não tenho a
profundidade que acho
necessária no assunto (que requer um estudo minuncioso e longo). Vc
deve fazer uma
pesquisa no Google e nos arquivos da lista.
Basicamente o que Göedel quis dizer é que não podemos ter em
matemática
um sistema de axiomas completo (com todos os axiomas
para decidir a veracidade e a falsidade de qualquer proposição ou
teorema).
Se um tal sistema de axiomas existisse (um sistema de axiomas dito
"completo") ele
necessáriamente seria inconsistente (chegaríamos a veracidade de um
teorema por um caminho
e a falsidade do mesmo teorema por outro).
Se o sistema for incompleto (não tiver "todos os axiomas") ele poderá
ser consistente (não
apresentar por diferentes caminhos a afirmação e a negação de um mesmo
teorema).
Ora, sabemos que na matemática não temos a prova de veracidade de
um teorema por um
caminho e aprova da falsidade do mesmo por outro :) Assim a matemática
é consistente, MAS
incompleta ! E sempre será!
Veja, isso não é ruim, e não é a derrota da matemática. Isso
é bom, porque mudando um axioma, desde que é claro ele seja independente
dos demais,
(como o quinto axioma de Euclides é dos demais axiomas da geometria
plana), podemos construir
diferentes lógicas, todas elas rigorosas, que se adequam a diferentes
tipos de problemas ou a um
mesmo problema em específico. O teorema
de Göedel é, dessa forma talvez, a maior demonstração de poder de fogo
da matemática.
E é também o maior desafio dos físicos achar os melhores axiomas e
sistemas que descrevem o mundo em que vivemos.
Vejamos um exemplo:
A física newtoniana é baseada na geometria plana
de Euclides e
o grupo de transformações do espaço e do tempo é o
grupo de Galileu.
A física relativística é baseada na geometria
hiperbólica e o grupo
de transformações do espaço e do tempo é o grupo de
Poincaré.
Por que a segunda lógica foi preferida à primeira?
Físicos dizem que é porque Deus quis.
Segundo eles, se a lógica não não fosse essa, muitos
fenômenos
que observamos no dia a dia, como um simples acender de fósforo não
aconteceriam da forma
que acontecem. Einstein acreditava que fazer essas perguntas era como
conversar com
o Criador, pois apenas a experiência é capaz de revelar a lógica correta
(pois existem muitas
lógicas e todas rigorosas).
Assim, sendo pode ser que a física relativística não contenha todos
os axiomas necessários à real
compreensão do mundo e que alguns deles precisam ser identificados
mudados para que ganhemos uma compreensão
completa de como o universo é como ele é.
Ronaldo Luiz Alonso
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> Bem, eu conheço pouco sobre esta área mais nebulosa, mas o que Godel
> quis dizer é que,se a matemática é consistente, é necessário algo mais
> poderoso que a matemática para provartal consistência.Eu costumo
> pensar no postulado de Euclides-Playfair , o das paralelas.Este
> postulado é indecidível, ou seja, é necessário um raciocínio superiora
> ele para provar que ele é ou não verdadeiro.Bem, este negócio de "como
> algo pode ter consistencia se nos nao podemos prova-lo",é como
> (paralelo meio tosco, é verdade) soltar um suspeito de um crime por
> falta de provas.Em 02/08/07, johnson nascimento
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Ola amigos !Eu depois de me desenpenhar muito em matematica
> aplicada a 1 ano atras venho me intenressando por
> fundamentação matematica. Compreendi perfeitamente o
> programa de Hilbert mais nao compreendi o teorema de
> Godel. O que realmente Godel quer diser com; "Se a
> matemática é consistente, sua consistência não pode ser
> provada dentro da própria matemática" Entao ela sera provada
> onde? "Se a matemática é consistente ela é incompleta" Ou
> seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação
> qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a
> intuição? Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender
> como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos
> prova-lo. Por favor eu gostaria de um exemplo dentro das
> teorias formalizadas existentes pra poder compreender esse
> tipo de conceito. Muito Obrigado menbros da lista e
> felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular.
> Saiba mais.
>
>
>
>
> --
> Ideas are bulletproof.
>
> V
