Comentário: Geometricamente no caso euclidiano, não é difícil ver que a conclusão é válida, mesmo se o espaço tiver dimensão infinita. Projeções são conjuntos de coordenadas, cada um desses conjuntos é um subespaço e pelo teorema do núcleo e da imagem a soma das dimensões do núcleo e da imagem dá a dimensão do espaço. A condição |Pv| <= |v| significa que não estão sendo projetadas todas as coordenadas. Se as coordenadas são ortogonais então a projeção é ortogonal e acabou. O problema é quando as coordenadas não são ortogonais, ou o espaço é, digamos, um espaço de funções (dimensão infinita).
francisco medeiros wrote: > Olá Pessoal. > > Alguém poderia me ajudar no problema abaixo de álgebra linear? > > Problema: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (K=C ou K = R) > com produto interno, e seja W um subespaço de V. Prove que se P: V --> > V é uma projeção (i.e., PP = P) cuja imagem é W e |Pv| <= |v|, para > todo v em V, então P é uma projeção ortogonal em W. > > Obs.: Uma Projeção Ortogonal P é uma projeção tal que Ker(P) é > ortogonal a Im(P). > > Grato desde já, > Francisco. > > PS.: Consigui resolver o problema acima no caso em que W tem dimensão > finita! > > ----------------------------------------------------------------------- > Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! Experimente!
