Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...
na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante...
nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva...
abracos,
Salhab
On 5/26/07, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
concluímos que 2 = 4!!!
Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
considerações e se o que pensei está correto.
Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de
x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função
é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1
(logo obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma
imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é
para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá
a imagem igual a 4.
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