Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...) de x
a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
concluímos que 2 = 4!!!
Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
considerações e se o que pensei está correto.
Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de x
positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é
crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1 (logo
obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no dado
intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma imagem
maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é para quando x
= 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá a imagem igual a
4.
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