Oi Veja se da pra entender desse jeito que eu pensei. 1)Se a maior potencia de 5 que divide n! é 5^84 então n! deve ter o fator 5 multiplicado 84 vezes. Veja que 5! tem apenas 1 vez o fator 5 porque nenhum numero menor que 5 é divisivel por 5. 10! tem 2 vezes o fator 5, 15! tem 3 vezes. Vamos tentar então um numero que temos certeza que possui pelo menos 84 vezes o fator 5. Fazendo 84*5 = 420. Assim 420! tem pelo menos 84 vezeso fator 5. Mas algumas vezes esse fator aparece mais de uma vez no mesmo numero, por exemplo, 25= 5*5. Então em 420! há alguns cincos a mais do que queremos. Veja que 5^3 = 125 e 5^4 = 625. Então a maior potencia de 5 que é menor que 420 é 5^3. Assim devemos ter no máximo o fator 5 repetido 3 vezes num numero. Vamos tentar estimar qual seria o numero n desejado: n/5 + n/25 + n/125 = 84 (porque n/5 encontra quantos multiplos de 5 há entre 1 e n, n/25 encontra quantos multiplos de 5*5 há entre 1 e n e n/125 encontra quantos multiplos de 5*5*5 há entre 1 e n). Resolvendo temos n = 10500/31 = 338,70. Aproximando para o inteiro multiplo de 5 mais próximo temos n=340. Vamos ver quantos cincos há em 340!: Multiplos de 5: 340/5=68. Multiplos de 25: 65/5 = 13. Multiplos de 25: 10/5 = 2. Então há 68+13+2 = 83 vezes que o fator 5 é repetido. Logo falta apenas uma vez. Encontrando o próximo n que é multiplo de 5 temos n=345. Assim os outros numeros que tem essa propriedade são: 345, 346, 347, 348 ,349.
2)Seguindo o mesmo raciocionio: 3! tem uma vez o fator 3. 6! tem 2 vezes. 9! tem 4 vezes 12! tem 5 vezes 15! tem 6 vezes 18! tem 8 vezes. Portanto não existe n inteiro tal que 3^7 seja a maior potencia de 3 que divide n!. ----- Original Message ----- From: Rhilbert Rivera To: [email protected] Sent: Saturday, May 26, 2007 7:09 AM Subject: [obm-l] Fatorial -Difícil Colegas, estou enrolado com vários problemas envolvendo fatorial. Estou pedindo auxílio em dois pra começar. Obrigado por qualquer ajuda. 1) Ache o menor valor de n, de modo que a maior potência de 5 que divide n! seja 5^84. Quais são os outros números que gozam dessa propriedade? 2) Mostre que não há nenhum número natural n tal que 3^7 seja a maior potência de 3 que divide n! ------------------------------------------------------------------------------ Ligue para os amigos com a Chamada de PC para PC - GRATUITO Experimente já!
