Olá, se x > 1/sqrt(3), y > 1/sqrt(3), z > 1/sqrt(3) ... xy > 1/3 ... xz > 1/3 ... yz > 1/3 .... xy + xz + yz > 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser menor ou igual a 1/sqrt(3)...
se x < 1/sqrt(3), y < 1/sqrt(3), z < 1/sqrt(3)... xy < 1/3 .. xz < 1/3 ... yz < 1/3 ... xy + xz + yz < 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser maior ou igual a 1/sqrt(3)... sem perda de generalidade, vamos supor que x <= 1/sqrt(3) e z >= 1/sqrt(3) e y pode assumir qualquer valor... mas.. y(x+z) = 1 - xz .... y = (1-xz)/(x+z) ... como y>0, temos: 1-xz
0... xz < 1
sabemos que: x > 0 e z >= 1/sqrt(3) ... logo xz > 0 e x+z > 1/sqrt(3) logo: y = (1-xz)/(x+z) < (1-xz)*sqrt(3) < sqrt(3) por enquanto, temos: x <= 1/sqrt(3) ...y < sqrt(3) ... z >= 1/sqrt(3) legal.. achei algumas restricoes.. talvez isso ajude.. vamos analisar esta expressao: - 2x(1-x^2)/(1+x^2)^2 + x(1+x^2)/(1+x^2)^2 = -(2x - 2x^3 - x - x^3)/(1+x^2)^2 = -(-3x^3 + x)/(1+x^2)^2 = x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 assim, o que é pedido é equivalente a provar que: x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 + y(3y^2 - 1)/(1+y^2)^2 + z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 >= 0 como x <= 1/sqrt(3) ... x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 <= 0 como z >= 1/sqrt(3) ... z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 >= 0 pra y, pode ser negativo ou positivo... hehe bom.. nao cheguei em lugar nenhum estou enviando pra ver se ajuda alguem.. vou tentar outra solucao.. realmente, nao gostei do q fiz! hehe abracos, Salhab On 5/5/07, Lucas Daniel <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá. Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não consegui resolver. Seria possível me passar a resolução? Obrigado, Lucas. O problema é o seguinte: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) < x + y + z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² Obrigado! __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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