Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) < x + y + z
(1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) <= sen(2A) +sen(2B)+sen(2C)
lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica,
cancelando: sena.senb.senc<=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc<=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) <=( 3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado!
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