Ola Claudio, pensei no seguinte: se f(t, x) >= g(t, x), entao dx/dt >= dy/dt, para todo t E R. integrando de t_0 a t, temos: x(t) - x(t_0) >= y(t) - y(t_0)
x(t) - a >= y(t) - b se tivermos a >= b, temos: x(t) >= y(t) .. sobre a EDO, pensei no seguinte: derivando novamente em relacao ao tempo, temos: x'' = 1 + 2xx' entao, resolvendo esta EDO e dps ajustando para satisfazer x' = t + x^2 talvez conseguimos encontrar a solucao... bom.. vou pensar melhor aqui e se conseguir algo eu mando abracos, Salhab On 4/13/07, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi, pessoal: Estou tentando resolver o seguinte problema: Prove que o problema de valor inicial: dx/dt = t + x^2 x(0) = a > 0 tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito. Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda. Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente. No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio. Em geral, se temos dois PVIs: dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a e dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b onde: f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica, a >= b, e f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U, entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas. Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo) []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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