Olá, 1 + 2 + 3 + ... + 2005 = (1 + 2005)*2005/2 = 1003 * 2005
lembramos que: a^n - b^n = (a-b)(a^(n-1) + ba^(n-2) + ... + ab^(n-2) + b^(n-1)) temos: a^n + b^n = (a+b)(a^(n-1) - ba^(n-2) + ... - ab^(n-2) + b^(n-1)) fazendo a + b = 2006, n = 2005, temos: a^2005 + b^2005 = 2006*[(a^2004 - ba^2003 + ... - ab^(n-2) + b^2004)] notemos que: 1 + 2005 = 2006 2 + 2004 = 2006 3 + 2003 = 2006 : : opa.. entao: 1^2005 + 2^2005 + ... + 2005^2005 1^2005 + 2005^2005 = 2006 * [(a^2004 - ba^2003 + ... - ab^(n-2) + b^2004)] e assim por diante.. colocando 2006 em evidencia, temos: 2006 * [ ... ] + 1003^2005 = 1003 * [ 2*(...) + 1003^2004 ] assim, o numero eh divisivel por 1003 falta mostrarmos que ainda eh divisivel por 2005 mdc(2005, 1003) = mdc(1003, 1002) = mdc(1002, 1) = 1 opa.. sao primos relativos.. vamos analisar a expressao original entao: temos que mostrar que 2005 divide: 1^2005 + 2^2005 + 3^2005 + ... + 2004^2005 opa.. usando a mesma ideia do 2006, vamos ter: 2005 * [ ... ].. logo, eh divisivel por 2005 como eles sao primos relativos e 2005 e 1003 dividem o numero, entao: 1+2+3+...+2005 tbem divide! espero que nao tenha ficado mto confuso, abracos, Salhab On 4/9/07, Renato Sidnei <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Questão da Obm do ano de 2005 para nivel de 5a. a 8a. série PROBLEMA 5 Prove que o número 1^2005+2^2005+3^2005+...+2005^2005 é múltiplo de 1+2+3+...+2005. Renato Sidnei [EMAIL PROTECTED] __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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