Oi, Claudio,
O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta
extremamente útil que já usei para demonstrar inúmeros problemas de
geometria, como por exemplo o famoso teorema atribuido ao
Napoleão (o Bonaparte, mesmo, acredite se quiser... :-)), que eu
acho surpreendente:
"Sobre os lados de um triângulo arbitrário construa três triângulos
equiláteros exteriores ao mesmo. Mostre que os centros destes 3
triângulos equiláteros determinam um novo triângulo equilátero".
O teorema do Napoleão também é relacionado a outro problema
(atribuído a Pascal) igualmente interessante: "Dado um triângulo
qualquer, determine o ponto de seu plano cuja soma das distâncias aos
vértices é mínima".
Os aficcionados em Geometria que se regozigem... São bonitos, assim,
como as soluções.
Quanto ao somatório (com expoentes sendo os números triangulares) tô
pensando...
Abraços,
Nehab
At 13:50 13/2/2007, you wrote:
On 2/13/07, claudio.buffara
<<mailto:[EMAIL PROTECTED]>[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Antes de postar um problema bonitinho sobre complexos, quero lembrar
que ainda temos (pelo menos) dois problemas em aberto
na lista, um do PSRita e o outro do ACSteiner:
1. Calcule o valor de SOMA(n=1...+inf) q^(n(n-1)/2), onde |q| < 1.
Consultei meus alfarrabios e descobri que esta soma eh igual a um
certo produto infinito, mas nao achei nenhuma formula
fechada e suspeito que nenhuma exista, a menos que envolva alguma
funcao nao elementar - alias, como a serie acima
converge, ela pode ser usada pra definir uma funcao de (-1,1) -> R.
Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma
P.A. com os n primeiros naturais.
Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema
não está relacionado com partições de inteiros e
a função de Euler?
<http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition>http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition
Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que
é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i
aparece i vezes.
Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não
ajuda muito ... :)
[]s
Ronaldo
