Oi, Paulo: Se existir um tal polinomio p(q), entao eh facil ver que os coeficientes serao inteiros (eh soh montar a recorrencia).
No entanto, nao pode existir um tal polinomio pois, se tivermos: p(q) * SOMA(k>=1) q^(k(k-1)/2) = SOMA(n>=0) q^n = 1/(1-q), se |q| < 1. entao, com q = 1/2, teriamos: SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) = 2/p(1/2) ==> Mas, pelo teorema das raizes racionais, p(1/2) <> 0 e, alem disso, eh claramente racional. Logo, 2/p(1/2) eh racional. No entanto, SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) eh irracional (basta ver que, em base 2, esta soma eh uma decimal infinita e nao periodica) ==> contradicao ==> nao existe p(q). []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Tue, 13 Feb 2007 17:58:20 +0000 Assunto: RE: [obm-l] Problemas em aberto > > Ola Ronaldo e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Parabens, a sua intuicao e muito boa. Eu acho que se voce parar para pensar > com mais calma, sem pressupostos, vai resolver... > Talvez falte voce observar o seguinte : > > Na serie geometrica bem conhecida Sn = 1 + q + q^2 + ... + q^(N-1), 0 < > q < 1, como calculamos o LIM Sn quando N vai para > o infinito ? Em geral, fixamos N e multiplicamos Sn por UM POLINOMIO p(q) EM > "q", CONVENIENTE, tal que > > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES. > > no caso particular da serie geomentrica temos que p(q) = q - 1 pois (q - > 1)*Sn =q^N - 1. A seguir, dado que q^N -> 0 quando N > vai para o infinito seque que Sn = 1/(1-q). Note que aqui p(q)*sn= ALGO MAIS > SIMPLES. Poderia ser tambem algo somavel ou computavel ... > > Seja agora Sn = 1 + q + q^3 + ... + q^[(N(N-1))/2]. Quem e p(q) tal que > > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES ? > > Eis uma questao na qual um software como o MAXIMA ou OCTAVE facilita muito > as coisas, pois nos permite fazer experiencias com as > diversas possibilidades do polinomio p(q) que precisamos descobrir. > > E com os melhores votos > de paz profunda, sou > Paulo Santa Rita > 3,0F38,130207 > > ________________________________ > > Date: Tue, 13 Feb 2007 12:50:30 -0300 > > From: [EMAIL PROTECTED] > > To: [email protected] > > Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto > > > > Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma P.A. com os n > > primeiros naturais. > > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema não está > > relacionado com partições de inteiros e > > a função de Euler ? > > http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition > > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que é > > possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i > > aparece i vezes. > > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não ajuda muito > > ... :) > > []s > > Ronaldo > > _________________________________________________________________ > Busque em qualquer página da Web com alta proteção. Obtenha o Windows Live > Toolbar GRATUITO ainda hoje! > http://toolbar.live.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
