Olá!!! Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma para achar o vetor:
| i j k | | x1 y1 z1 | = (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j - (x2y1) k. | x2 y2 z2 | Dessa forma as componentes do vetor resultante serão: (y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1). Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o vetor perpendicular??? A necessidade dessa demonstração surgiu quando precisei calcular a área entre dois vetores de duas dimensões. Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a área do paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" é o ângulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b" e "a" são os ângulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo x. Utilizando a fórmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a) achei a área do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que é o determinante entre a matriz composta pelos componentes de u e v. | ux uy | | vx vy | Estendendo para três dimensões não sei como demonstrar o produto vetorial, o qual em vários livros já é dado definido como mencionei acima e que essa operação entre vetores fornece um vetor perpendicular aos dois vetores sobre o qual foi calculado. Também li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do sólido formado pelos vetores u, v e w. Essa definição consegui mostrar utilizando a base inferior e superior do sólido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor perpendicular que formam um ângulo "d" calculei a altura do sólido como |w|.cos(d). Volume = área da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que é o produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w | A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada através do cosseno da diferença de dois ângulos. Assim, se puder existir uma demonstração simples e clara do produto vetorial ficarei muito grato. Estou estudando Álgebra Linear e os livros que peguei na faculdade em nível de Graduação não são tão didáticos, sendo que os autores consideram que o leitor já tenha conhecimento de diversos conceitos para várias fórmulas que são apenas dadas. É bem diferente de livros utilizados no Ensino Médio. Pediria também alguma indicação para livros sobre o assunto Álgebra Linear. Sempre estudo matemática e adoro a "rainha das ciências", mas agora vejo que o nível de abstração está ficando cada vez maior. Grato pela atenção, -- Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
