Olá! Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde y_i > 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n sujeita às condições y_i > 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores de lagrange para concluir que y_1 = ... = y_n = 1 gera um mínimo dessa função sobre a superfície y_1*...*y_n = 1.
Justamente, por esse método, notando que estamos com f(y_1,..., y_n) = p(1) e g(y_1,...,y_n) = y_1*...*y_n = 1 boas o suficiente para aplicar lagrange, vem que existe um real u tal que f_(y_i) = u*g_(y_i) para todo i, onde h_(y_i) é a derivada parcial de h em relação à variável y_i. Assim, temos o seguinte: f(y_1,...,y_n)/(1 + y_i) = u*g(y_1,...,y_n)/y_i para todo i, de maneira que y_i/(1 + y_i) = y_j/(1 + y_j) ==> y_i = y_j para todo i, j. Como o produto de toda a galera é 1, vem que y_1 = ... = y_n = 1 para todo mundo, de modo f(1,...,1) = 2^n é um ponto de mínimo, logo p(1) >= 2^n quaisquer que sejam as raízes negativas com módulo dando produto 1. []s, Daniel '>'seja um polinômio de grau n. todas as suas raízes são < 0. O termo independente '>'e o coeficiente da maior potência tem valores númericos igual a '>'unidade. Provar que P(1) > 2 elevado a n ; ou P(1) = 2 elevado a n. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
