Boa tarde a todos.
Caro Jefferson,
Vamos, em primeiro lugar, lembrar a questão original, que era mais ou
menos assim: "As tangentes dos três ângulos internos de um triângulo são
números inteiros e positivos. Calcule seus valores."
Eu propus uma solução chegando ao terno (1, 2, 3), mas havia afirmado que
não sabia se a solução era única. Depois, um colega provou que não é
possível que duas das tangentes sejam maiores que 2, mostrando, então, que
a solução (1, 2, 3) é única.
Se o problema que você está resolvendo é esse, as suas duas conjecturas
são falsas.
Suponhamos que bc = 3, ac = 3 e ab = 3. Das duas primeiras igualdades vem
que a/b = 1, ou seja, a = b, que usado na terceira igualdade produz a = b
= srqt(3), valores não inteiros.
Uma situação análoga acontece na sua segunda suposição.
Sendo assim, parece-me que o problema tem apenas uma solução.
[]s,
Márcio.
On Tue, 16 Aug 2005 19:13:02 -0700, Jefferson Franca
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte:
a + b + c = a.b.c <=> (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1 e, suponha que bc =
3, ac = 3 e ab = 3, e se tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4?
Eu, sinceramente acho que esta questão não tem só uma solução como vc
afirma.
Valeu e abraço
Antonio Eurico Dias <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
E completando o raciocinio do Dirichlet:
TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC
a + b + c = a.b.c <=> abc - a = b + c <=> a (bc - 1) = b + c
a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c >= bc - 1 <=>
bc - b <= c + 1
b.(c - 1) <= c + 1 <=> b <= (c+1)/(c-1) <=> b <= 1 + 2/(c-1)
Logo, como b também é inteiro c - 1 = 2 ou c -1 = 1, que levam ao
unico conjunto de solucoes inteiras positivas
(1 , 2 , 3)...
Eurico
Sistema Elite de Ensino - Unidade Belém
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