Ola Pessoal,
Na mensagem abaixo leiam : "valores reais positivos de k"
um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1103,300505
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Subject: [obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equa��o..
Date: Mon, 30 May 2005 13:46:16 +0000
Ola Carissimo Prof Nicolau e
demais colegas desta lista ... OBM-L,
A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando
um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema :
"Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres
solucoes ? "
Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes
esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido
rapidamente encontrar uma solucao "fechadinha". OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu
encontrei :
sen(Z1)/Z1 < K < 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0
que reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei
para o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ?
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
2,1044,300505
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] raiz negativa de equa��o..
Date: Mon, 30 May 2005 10:06:12 -0300
On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vin�cius Meireles Aleixo wrote:
> Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na
lista....
> Qual � a raiz negativa da equa��o:
>
> 2^x - x^2=0
Isto j� foi discutido na lista v�rias vezes sim, mas n�o achei refer�ncia.
A raiz � aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067.
Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, � claro que existe pelo menos
uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 � f�cil ver que
f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz � �nica.
O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo
m�todo de Newton, ou, de forma mais pr�tica, usando maple ou outro
software
similar (como eu fiz). Este n�mero claramente n�o � inteiro. Tamb�m n�o
pode ser racional pois se x � racional n�o inteiro ent�o 2^x n�o �
racional,
como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da
aritm�tica.
Este n�mero tamb�m n�o pode ser alg�brico irracional pois sabemos pelo
teorema de Gelfond-Schneider que se x � alg�brico irracional ent�o 2^x
n�o � alg�brico.
Resumindo, a equa��o tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz � um
n�mero
transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este
n�mero
pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais
conhecidos (como pi): a resposta � quase certamente n�o, mas demonstrar
que
a resposta � n�o deve ser dif�cil.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Chegou o que faltava: MSN Acesso Gr�tis. Instale J�!
http://www.msn.com.br/discador
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