On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vin�cius Meireles Aleixo wrote: > Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista.... > Qual � a raiz negativa da equa��o: > > 2^x - x^2=0
Isto j� foi discutido na lista v�rias vezes sim, mas n�o achei refer�ncia. A raiz � aproximadamente x = -0.7666646959621230931112044225103148480067. Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, � claro que existe pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 � f�cil ver que f'(x) > 0 para todo x neste intervalo donde a raiz � �nica. O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo m�todo de Newton, ou, de forma mais pr�tica, usando maple ou outro software similar (como eu fiz). Este n�mero claramente n�o � inteiro. Tamb�m n�o pode ser racional pois se x � racional n�o inteiro ent�o 2^x n�o � racional, como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritm�tica. Este n�mero tamb�m n�o pode ser alg�brico irracional pois sabemos pelo teorema de Gelfond-Schneider que se x � alg�brico irracional ent�o 2^x n�o � alg�brico. Resumindo, a equa��o tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz � um n�mero transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este n�mero pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais conhecidos (como pi): a resposta � quase certamente n�o, mas demonstrar que a resposta � n�o deve ser dif�cil. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
