Acho que faltou dizer que o tri�ngulo � ret�ngulo (por exemplo).
Nesse caso, os lados sao b, bq e bq^2 (b = medida do menor cateto e q � a raz�o, que deve ser maior do que 1).
Pit�goras implica que 1 + q^2 = q^4 ==>
q = raiz((1 + raiz(5))/2)
Mais geralmente, se os lados forem 1 <= q <= q^2 e o �ngulo entre os lados de medidas 1 e q for t (0 < t < pi), ent�o a lei dos cossenos resulta em:
f(q) = q^4 - q^2 + 2cos(t)q - 1 = 0.
Como q >= 1, teremos:
f(1) = 2cos(t) - 1
f'(q) = 4q^3 - 2q + 2cos(t) >= 0, se q >= 1.
Repare que q = 1 <==> o tri�ngulo � equil�tero <==> t = pi/3.
Em geral, teremos:
cos(t) <= 1/2 ==>
0 < t <= pi/3 ou 2pi/3 <= t < pi ==>
f(1) <= 0 ==>
f(q) ter� uma (�nica) raiz maior ou igual a 1.
No caso de um t qualquer, acho que o melhor � usar a f�rmula das ra�zes da equa��o do 4o. grau e calcular esta raiz.
Se cos(t) > 1/2, ent�o f(1) > 1 e, portanto, f(q) n�o ter� ra�zes maiores do que 1. Ou seja, nesse caso o problema n�o ter� solu��o.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Mon, 9 May 2005 10:51:13 -0300 |
| Assunto: | Re: [obm-l] Progress�o Ge om�trica. |
> On Sun, May 08, 2005 at 03:15:40PM -0300, Daniela Yoshikawa wrote:
> > 1) Se o produto dos (2n+1) termos de uma PG � P, ent�o o seu termo central �:
>
> P^(1/(2n+1)). Basta para isso ver que se o termo central � c, ent�o o produto
> de dois termos igualmente distantes do termo central � c^2.
>
> > 2) Os lados de um tri�ngulo est�o em PG. Obter a raz�o.
>
> Este � imposs�vel. A raz�o pode ser qualquer coisa no intervalo aberto
> ((sqrt(5)-1)/2, (sqrt(5)+1)/2). Este dois valores v�m de resolver
> as equa��es x^2+x=1 e x^2=x+1, respectivamente, casos limites
> da desigualdade triangular.
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
