Caramba! Eu devo estar com alguma maldi��o. N�o consigo acertar nada de primeira...
O enunciado correto do teorema deveria ser:
Sejam A um anel comutativo com 1 que n�o � corpo e x um elemento n�o-nilpotente de A. Ent�o A possui um ideal I <> (0) ao qual x n�o pertence.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | "obm-l" [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Tue, 26 Apr 2005 08:52:04 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] n�o-nilpotente de um anel |
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> Acho que agora foi...
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> O teorema � o seguinte:
> Sejam A um anel comutativo com 1 e x um elemento n�o-nilpotente de A.
> Ent�o A possui um ideal I ao qual x n�o pertence.
>
> Se A for um corpo, ent�o qualquer n�o-nilpotente � invert�vel e nenhum invert�vel pertence ao ideal (0). Assim, podemos tomar I = (0).
>
> Se A n�o for um corpo, temos dois casos a considerar:
>
> Caso 1: x n�o � um divisor de zero.
> Nesse caso, seja a um elemento n�o-nulo e n�o invert�vel de A.
> Seja I = (ax).
> Suponhamos que x pertence a I.
> Ent�o, existe b em A tal que x = bax ==>
> x(1 - ba) = 0 ==>
> 1 - ba = 0, pois x n�o � divisor de zero ==>
> ba = 1 ==>
> a � invert�vel ==>
> contradi��o ==>
> x n�o pertence a I.
>
> Caso 2: x � um divisor de zero.
> Nesse caso, existe y em A tal que y <> 0 e xy = 0.
> Seja I = (y).
> Suponhamos que x pertence a I.
> Ent�o, x = by, para algum b em A ==>
> x^2 = xby = bxy = 0 ==>
> x � nilpotente ==>
> contradi��o ==>
> x n�o pertence a I.
>
> ***
>
> Corol�rio:
> Seja x um elemento n�o-nilpotente de algum anel A (comutativo com 1) que n�o � corpo. Seja S = {J | J � ideal de A e, para todo inteiro positivo n, x^n n�o pertence a J}.
> Ent�o, S possui algum ideal diferente de (0).
>
>
> []s,
> Claudio.
