Acho que agora foi...
O teorema � o seguinte:
Sejam A um anel comutativo com 1 e x um elemento n�o-nilpotente de A.
Ent�o A possui um ideal I ao qual x n�o pertence.
Se A for um corpo, ent�o qualquer n�o-nilpotente � invert�vel e nenhum invert�vel pertence ao ideal (0). Assim, podemos tomar I = (0).
Se A n�o for um corpo, temos dois casos a considerar:
Caso 1: x n�o � um divisor de zero.
Nesse caso, seja a um elemento n�o-nulo e n�o invert�vel de A.
Seja I = (ax).
Suponhamos que x pertence a I.
Ent�o, existe b em A tal que x = bax ==>
x(1 - ba) = 0 ==>
1 - ba = 0, pois x n�o � divisor de zero ==>
ba = 1 ==>
a � invert�vel ==>
contradi��o ==>
x n�o pertence a I.
Caso 2: x � um divisor de zero.
Nesse caso, existe y em A tal que y <> 0 e xy = 0.
Seja I = (y).
Suponhamos que x pertence a I.
Ent�o, x = by, para algum b em A ==>
x^2 = xby = bxy = 0 ==>
x � nilpotente ==>
contradi��o ==>
x n�o pertence a I.
***
Corol�rio:
Seja x um elemento n�o-nilpotente de algum anel A (comutativo com 1) que n�o � corpo. Seja S = {J | J � ideal de A e, para todo inteiro positivo n, x^n n�o pertence a J}.
Ent�o, S possui algum ideal diferente de (0).
[]s,
Claudio.
