On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Como se encontra o valor num�rico de cos80�? > > Essa � uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. > cos e sen de 60 voc� sabe. > O problema � achar cos e sin de 20. > Para isso voc� tem que aplicar a f�rmula do arco triplo. > E a� voc� tem uma equa��o do 3 grau. > > N�o � uma boa sa�da tentar resolver a bendita! > > A menos > que voc� use f�rmulas para ra�zes c�bicas de n�meros complexos, > pois na f�rmula deste tipo de equa��o c�bica o valor que aparece na > raiz quadrada � *negativo* (a equa��o tem uma �nica solu��o real) e > duas complexas conjugadas). > > D� para fazer mas � trabalhoso. > > � mais f�cil fazer o seguinte: > Construa um tri�ngulo com v�rtice no centro do c�rculo e > �ngulo de de 60 = 3 * 20. Da� voc� divide o arco > em tr�s partes e por semelhan�a de tri�ngulos tenta achar > o valor dos lados (acho que fiz isso para achar). Da� por somas > e subtra��es de segmentos acha o valor. Se eu > n�o me engano o valor que obtive para sin 20 era > __________ > ___ > V 3 - V 2 > > Quando voc� conseguir, voc� substititui > o valor na equa��o c�bica acima. > > Se o valor satisfizer a equa��o > beleza. Seus problemas se acabaram.
N�o consegui ler nem adivinhar nada da formula acima, o que � uma pena pois eu tenho muito interesse em saber o que ela dizia. Pelo que sei, n�o existem formulas para c = cos(20 graus) ou s = sen(20 graus) significativamente melhores do que c = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) + cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2 s = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) - cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2i (onde sqrt significa raiz quadrada e cbrt significa raiz c�bica). Estas formulas s�o f�ceis de demonstrar e entender. Afinal (1 +- sqrt(-3))/2 = cos(60 graus) +- i sen(60 graus) donde cbrt(1 +- sqrt(-3))/2 = cos(20 graus) +- i sen(20 graus) Por outro lado, elas s�o em certo sentido tautologicas e in�teis. Sei tamb�m que n�o � poss�vel reescrever as express�es acima usando apenas ra�zes quadradas e c�bicas reais, isto � um problema de teoria de Galois e o Gugu j� escreveu um artigo sobre isto. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
