Existe alguma especie de formula fechada para o caso geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n primeiros naturais, em funcao de n e k.
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300, > claudio.buffara wrote: > > Ontem algu�m perguntou aqui na lista como se > demonstrava a f�rmula da soma > > dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos. > > Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstra��o. > > Na verdade este assunto j� foi discutido v�rias > vezes nesta lista > e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos. > > Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f > tamb�m como > a �nica fun��o de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n) > = f(n-1) + n^2. > > � f�cil ver que f � um polin�mio de grau 3. De fato, > considere a > seguinte transforma��o linear: T(a,b,c) = (d,e,f) > se, sendo > g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) = > dn^2 + en + f. > A transforma��o linear T � bem definida pois os > termos de grau 3 > se cancelam; T tamb�m � injetora, pois g(n) - g(n-1) > = 0 para todo n > implica que g � constante logo, como n�o h� termos > constante em g, > temos g = 0. Assim T � invers�vel. Note que o mesmo > racioc�nio > demonstra que se h � um polin�mio de grau k e se g > satisfaz > g(n) = g(n-1) + h(n) ent�o g � polin�mio de grau > k+1. > > Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) = > 0, f(1) = 1, > f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3: > a + b + c = 1 > 8a + 4b + 2c = 5 > 27a + 9b + 3c = 14 > e podemos facilmente achar a, b e c. > > Mas acho mais elegante neste caso ver quais s�o as > ra�zes de f. > Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) = > - (-1)^2 = -f(1), > f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ..., > f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n). > Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a > terceira raiz. > Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substitui��o obteria > o valor de c, > mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3 > donde c = 1/6. > > []s, N. > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
