Sobre a definicao que eu dei, cos x e uma formula
fechada: eu nao preciso calcular cos (x-1) para saber
cos x. E uma ideia meio equivocada mas nao ha nada que
impeca.
--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Bom, acho que tem algo a ver com os n�meros de
> Bernoulli (que n�o t�m
> f�rmula fechada, mas quem disse que cos(x) � uma
> "f�rmula fechada"??
> (Isso foi para provocar...)
>
> O truque � que estes n�meros relacionam-se com a
> expans�o de n^k em
> somas de binomiais da forma n^k = SOMA {em j} C(n,
> j) * B(k, j) (ou
> algo parecido, pode ter um k-j em vez de j). Da�,
> como eu falei numa
> mensagem anterior, � s� usar a soma das colunas.
>
> Maiores detalhes, voc� pode encontrar no "Concrete
> Mathematics",
> R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik.
>
> Abra�os,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> On Apr 9, 2005 11:21 AM, Johann Peter Gustav Lejeune
> Dirichlet
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Existe alguma especie de formula fechada para o
> caso
> > geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos
> n
> > primeiros naturais, em funcao de n e k.
> >
> > --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
> > wrote:
> > > On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300,
> > > claudio.buffara wrote:
> > > > Ontem algu�m perguntou aqui na lista como se
> > > demonstrava a f�rmula da soma
> > > > dos quadrados dos primeiros n inteiros
> positivos.
> > >
> > > Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstra��o.
> > >
> > > Na verdade este assunto j� foi discutido v�rias
> > > vezes nesta lista
> > > e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.
> > >
> > > Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos
> definir f
> > > tamb�m como
> > > a �nica fun��o de Z em Z que satisfaz f(0) = 0,
> f(n)
> > > = f(n-1) + n^2.
> > >
> > > � f�cil ver que f � um polin�mio de grau 3. De
> fato,
> > > considere a
> > > seguinte transforma��o linear: T(a,b,c) =
> (d,e,f)
> > > se, sendo
> > > g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1)
> =
> > > dn^2 + en + f.
> > > A transforma��o linear T � bem definida pois os
> > > termos de grau 3
> > > se cancelam; T tamb�m � injetora, pois g(n) -
> g(n-1)
> > > = 0 para todo n
> > > implica que g � constante logo, como n�o h�
> termos
> > > constante em g,
> > > temos g = 0. Assim T � invers�vel. Note que o
> mesmo
> > > racioc�nio
> > > demonstra que se h � um polin�mio de grau k e se
> g
> > > satisfaz
> > > g(n) = g(n-1) + h(n) ent�o g � polin�mio de grau
> > > k+1.
> > >
> > > Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d,
> f(0) =
> > > 0, f(1) = 1,
> > > f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
> > > a + b + c = 1
> > > 8a + 4b + 2c = 5
> > > 27a + 9b + 3c = 14
> > > e podemos facilmente achar a, b e c.
> > >
> > > Mas acho mais elegante neste caso ver quais s�o
> as
> > > ra�zes de f.
> > > Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que
> f(-2) =
> > > - (-1)^2 = -f(1),
> > > f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
> > > f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 =
> -f(n).
> > > Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a
> > > terceira raiz.
> > > Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substitui��o
> obteria
> > > o valor de c,
> > > mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3
> n^3
> > > donde c = 1/6.
> > >
> > > []s, N.
> > >
> >
>
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> > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
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> > Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis.
> > Instale o discador agora!
> http://br.acesso.yahoo.com/
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