S� complementando: f: R^3 -> R^3 n�o � uma bije��o. A bije��o � a restri��o de f a U se restringirmos tamb�m o contradom�nio a W.
Ou seja, usando a mesma letra pra representar a restri��o de f a U:
f: U -> W � uma bije��o cuja inversa � g: W -> U dada por:
g(x,y,z) = (x+y+z,(y+z)/(x+y+z),z/(y+z))
Como as coordenadas de f(x,y,z) ( g(x,y,z) ) s�o polin�mios (fun��es racionais) em x, y e z, e que os denominadores de g(x,y,z) n�o se anulam em W, � f�cil ver que tanto f quanto g s�o infinitamente diferenci�veis.
Logo, f: U -> W � um difeomorfismo de classe C^infinito.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | "obm-l" [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Wed, 30 Mar 2005 17:15:23 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Re: [obm-l] an�lise (ou c�lculo). |
> f(x,y,z) = (a,b,c) ==> (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
>
> Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
> x = a+b+c
> y = (b+c)/(a+b+c)
> z = c/(b+c)
>
> Isso s� n�o ser� fact�vel se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).
>
> Mas se nos restringirmos a U, teremos:
> xy <> 0 ==>
> x <> 0 e y <> 0 ==>
> a + b + c <> 0 e b + c <> 0 ==>
>
> Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c <> 0 e b + c <> 0}
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
>
| Para: | [email protected] |
>
| C�pia: |
>
| Data: | Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART) |
>
| Assunto: | Re: [obm-l] an�lise (ou c�lculo). |
> > Ol� gente,
> >
> > consegui verificar que f � um difeomorfismo local em U
> > e al�m disso que � injetora em todos os pontos de U.
> > Verifiquei tamb�m que exite pontos de R^3 [por
> > exemplo, (1,-1,0)] que n�o pertencem a f(U), ou seja,
> > f n�o � sobrejetiva sobre U. Da� a gente pode concluir
> > que f: U --> f(U) � difeomorfismo (global). Por�m, n�o
> > estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
> > Podemos concluir que a inversa g: W --> R^3 �
> > diferenci�vel pelo "simples" fato de f: U --> W ser um
> > difeomorfismo???
> >
> > Sem mais, �der.
> >
> > --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> > > Gostaria de uma ajuda no exerc�cio abaixo:
> > >
> > > Seja f: R^3 --> R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
> > > -
> > > xyz, xyz). Prove que f � injetora em U = {(x,y,z) em
> > > R^3 ; xy <> 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
> > > inversa
> > > g = f^(-1): W --> R^3 � diferenci�vel e calcule
> > > det[Jg(w)], w em W.
> > >
> > > Nota��o: " <> " � o mesmo que diferente;
> > > Jg(w) � a matriz Jacobiana de g em w.
> > >
> > > Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
> > > mesmo
> > > assim estou com d�vida em alguns passos. Estava
> > > usando
> > > o teorema da aplica��o inversa.
> > >
> > > Grato desde j�, �der.
> > >
> >
