| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | "OBM lISTA" [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART) |
| Assunto: | [obm-l] Teo. Riez |
> Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x�Ay (x� � x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto < , > interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que <x,y>=xAy
>
> Ou seja caracteriza produto interno em R^n
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> Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear.
> Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema
>
Seja {u_1, u_2, ..., u_n} uma base do R^n.
Um produto interno no R^n � totalmente caracterizado pelos n(n+1)/2 valores de <u_i,u_j> com 1 <= i <= j <= n.
Sejam x = x_1*u_1 + ... + x_n*u_n e y = y_1*u_1 + ... + y_n*u_n dois vetores arbitr�rios do R^n.
Ent�o <x,y> = SOMA(1<=i,j<=n) x_i*y_j*<u_i,u_j>.
Seja a matriz A(nxn) cujo elemento A_i,j = � igual a <u_i,u_j>.
� f�cil ver que, neste caso, <x,y> = [x]'*A*[y], onde:
[x] = (x_1, x_2, ..., x_n)' e [x]' = transposto de x (idem para [y]).
Obviamente A � sim�trica, pois <u_i,u_j> = <u_j,u_i>
Se u_i � o i-�simo vetor da base, ent�o:
[u_i]' = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (i-�sima coordenada igual a 1) ==>
[u_i]'*A*[u_i] = A_i,i = <u_i,u_i> > 0 ==>
A � positiva definida
Em suma, dado um produto interno e uma base do R^n, existe uma �nica matriz sim�trica positiva definida A tal que <x,y> = [x]'*A*[y].
Ali�s, isso vale para qualquer espa�o vetorial de dimens�o finita sobre R (sobre C tamb�m, mas nesse caso, a defini��o de produto interno � ligeiramente diferente e a matriz � hermitiana)
[]s,
Claudio.
