On Thu, Jan 06, 2005 at 04:09:00PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Se X e Y s�o infinitos, ent�o |X U Y| = max(|X|,|Y|).
> Eu conheco este teorema, ma nunca vi a demonstracao, gostaria de ve_la. Uma
> vez tentei mas me enrolei. Aceito o axioma da escolha sim (alias, sem ele
> todos aqueles teoremas sobre compaticidade em espacos topologicos
> arbitrarios seriam derrubados, certo?
O axioma da escolha � necess�rio at� para provar os seguintes fatos.
(1) Uma uni�o enumer�vel de conjuntos enumer�veis � enumer�vel.
(2) A rela��o de ordem entre cardinais � uma ordem total.
Ou seja, sim, o mundo sem o axioma da escolha � muito estranho.
Mas voltando a sua pergunta.
Suponha sem perda de generalidade suponha que |X| <= |Y|.
Podemos ainda supor que |X| = |Y| e que X e Y s�o disjuntos.
� uma conseq��ncia do axioma da escolha que todo conjunto
admite uma boa ordem. Vamos portanto supor X e Y bem ordenados.
Podemos sem perda de generalidade supor que todo segmento inicial
pr�prio tem cardinalidade menor que a de X, ou seja,
podemos escrever X = {x0, x1, ..., xa, ...}, Y = {y0, y1, ..., ya, ...},
a < |X| (a � um ordinal). Temos X U Y = {x0, y0, x1, y1, ..., xa, ya, ...}.
Tamb�m em XUY todo segmento inicial tem cardinalidade < |X|
e portanto a boa ordem define a bije��o.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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