claudio.buffara said: > [...] > E pra n�o perder a viagem, aqui vai um problema: > > Prove ou d� um contra-exemplo: > N�o existe nenhuma base de numera��o "b" tal que (2005)_b seja um > quadrado perfeito. > [...]
Seja x^2 = 2b^3 + 5. Ent�o, olhando (mod b), x^2 == 5. Se p | b, ent�o 5 � quadrado perfeito (mod p). Se p = 5, � f�cil ver que 5 | b mas 25 n�o divide b. Se p != 5, (5|p) = (p|5) = 1, onde (a|p) � o s�mbolo de Legendre. Logo p == 1 ou -1 (mod 5) ==> b == 1 ou -1 (mod 5). Mas agora olhando (mod 5), temos x^2 == 2b (mod 5), mas nem 2 nem -2 s�o quadrados m�dulo 5, absurdo! Logo x^2 = 2b^3 + 5 n�o possui solu��es inteiras. []s, -- F�bio Dias Moreira ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
