On Sun, Oct 24, 2004 at 01:00:06PM -0200, Claudio Buffara wrote: > Uma generalizacao: Prove que os angulos agudos de um triangulo pitagorico > sao irracionais quando expressos em graus.
Uma prova mais avan�ada e bem sucinta � a seguinte. Seja I o conjunto dos inteiros alg�bricos e seja Q[i] o conjunto dos n�meros complexos com parte real e parte imagin�ria racionais. Para quem n�o sabe, um n�mero complexo z � um inteiro alg�brico se e somente se existe um polin�mio p, m�nico e de coeficientes inteiros, para o qual p(z) = 0. Assim, por exemplo, w = cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q) � inteiro alg�brico pois w^q - 1 = 0. Sabemos (esta � a parte dif�cil) que a interse��o entre I e Q[i] � Z[i], o conjunto dos complexos de parte real e parte imagin�ria inteiras. Voltando ao problema, se os catetos do tri�ngulo s�o a e b e a hipotenusa � c ent�o tome z = (a/c) + (b/c)i. Claramente z pertence a Q[i] e n�o pertence a Z[i], donde n�o pertence a I. Pelo exemplo acima, z n�o pode ser da forma cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q), que � o que quer�amos. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
