� verdade!, por algum motivo eu interpretei '-8xyz' como '+8xyz'. Tentei fazer novamente. S� que errei em algum lugar. Algu�m pode me ajudar ?
Voltando ao problema: [x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz+1>=0 Temos que: (xy-z)^2=(xy)^2+z^2-2xyz (xz-y)^2=(xz)^2+y^2-2xyz (yz-x)^2=(yz)^2+x^2-2xyz Somando as tr�s eq., vem: (xy-z)^2+(xz-y)^2+(yz-x)^2=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]-6xyz>=0 Fazendo k=[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2], temos: Tese: k+(xyz)^2-8xyz+1>=0 (I) e sabemos que k-6xyz>=0 (II) Vamos supor que a tese seja verdadeira, logo: I-II:(xyz)^2-2(xyz)+1>=0 (III) Fazendo u = xyz, vem: u^2-2u+1>=0 => delta=4-4=0, portanto a curva descrita toca o eixo u em um �nico ponto (ponto em que ocorre a igualdade da inequa��o), ou seja, para u=2/2=1, ou seja, xyz=1. Para todos os outros u temos que (III) � verificada, logo a hip�tese admitida de que (I) � verdadeira � verdade. Assim conclu�mos que a igualdade ocorre quando xyz=1. Fazendo um teste ja vejo que n�o � bem assim. x=1/2 y=2 z=1 (xyz=1) temos que 1/4+4+1+1/4+4+1+1-8=0 (F) logo est� errado. Eu creio que a igualdade seja v�lida apenas quando x=y=z=1, mas n�o consegui provar. Al�m disso, algu�m consegue calcular as ra�zes do polinomio P(x)=3x^2-8x^3+3x^4+x^6+1. As ra�zes neste caso seriam uma condi��o para igualdade do problema quando x=y=z. []'s Osvaldo > > > Dados x,y,z numeros positivos, prove que: > > > > > > ((xyz)^(-1))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz >= 8 > > > >Colocando xyz>0 em evid�ncia nas parcelas dos dois membros, temos: > > > >1+[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2>8xyz<=> > >[x^2+y^2+z^2]+[(xz)^2+(yz)^2+(xy)^2]+(xyz)^2-8xyz>-1 > > > > > >O primeiro membro � totalmente positivo, logo � mair do que -1. > > > >Atenciosamente, > > > >Osvaldo Mello Sponquiado > >Engenharia El�trica, 2�ano > >UNESP - Ilha Solteira > > > > > o primeiro membro nao eh totalmente positivo ... basta jogar x=y=z=1 onde a > igualdade da inequa��o se verifica ! > []` > Daniel Regufe > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia El�trica, 2�ano UNESP - Ilha Solteira __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - � gr�tis! http://antipopup.uol.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
