Edward Elric wrote:
Esqueci de dar as restri�oes: a>0 ,b>0, p>1.
A passagem que voce usou medias s� � valida se p e q pertencem ao
conjunto dos naturais, mas isso n�o � obrigatoriamente verdade.
Ah, tem raz�o, mas acho que d� pra consertar. Se eu mostrar
que vale pra todos p e q racionais, ent�o vale pra todos os
reais tamb�m, certo? � s� tomar no limite intervalos de racionais
cada vez mais fechados. Ent�o resta provar que vale pros racionais.
Seja p=c/d e q=e/f. Vou usar as m�dias de novo, dessa vez tomando
"ed" vezes a^p, e "fc" vezes b^q:
(ed(a^p)+fc(b^q))/(ed+fc) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ed+fc))
Como 1/p+1/q=1, ent�o d/c+f/e=1 e de+fc=ce. Da�:
(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ce))
Mas ped=(c/d)ed=ce, qfc=(e/f)fc=ec, ent�o:
(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ((a^ec)(b^ec))^(1/(ce))
(ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) >= ab
Agora ed/ce=d/c=1/p, fc/ce=f/e=1/q, por fim:
(1/p)(a^p)+(1/q)(b^q) >= ab
QED
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Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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