Esqueci de dar as restri�oes: a>0 ,b>0, p>1.
A passagem que voce usou medias s� � valida se p e q pertencem ao conjunto dos naturais, mas isso n�o � obrigatoriamente verdade.
Ps: Essa desigualdade � um caso para f(x)= x^(p-1) na desigualdade de Young, que � definida por:
Seja f uma fun�ao real, continua, e estritamente crescente no intervalo [0,c], com c>0, Se f(0)=0, e a pertencente ao intervalo [0,c], e b pertencente ao intervalo [0,f(c)] ent�o:
( integral de 0 a 'a' de f(x)*d(x) ) +( integral de 0 a 'b' de g(x)*d(x) ) >= a*b
Onde g(x) � a inversa de f(x)
Edward.
From: Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Demonstar Desigualdade Date: Mon, 18 Oct 2004 20:10:44 -0300
Edward Elric wrote:
Vamos direto a desigualdade: Demonstre que se 1/p + 1/q =1 temos (a^p)/p + (b^q)/q >= a*b
Se 1/p + 1/q =1, ent�o p+q=pq. Al�m disso:
(a^p)/p + (b^q)/q >= a*b q(a^p)+p(b^q) >= ab(p+q)
Agora � s� usar as m�dias. Pegue "q" vezes o termo a^p, e "p" vezes o termo b^q. Da�:
(q(a^p)+p(b^q))/(p+q) >= (((a^p)^q)((b^q)^p))^(1/(p+q)) (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) >= ((a^pq)(b^pq))^(1/(p+q))
Como p+q = pq, mudamos o lado direito: (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) >= ((a^pq)(b^pq))^(1/(pq)) (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) >= ab q(a^p)+p(b^q) >= ab(p+q) QED
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