Valeu Felipe!
Bem, 10^n significa que temos n�meros com n d�gitos.
Para gerarmos todos os n�meros cujos d�gitos somam 9(n-1), � como se inici�ssemos com todos os d�gitos iguais a 9, e ent�o som�ssemos um total de -9 unidades a eles, distribu�das de todas as formas poss�veis. Portanto, queremos o n�mero de soluc�es n�o negativas de A1+..+An = 9 , que vale (n+8)! / [ (n-1)! * 9! ]
Para os n�meros cujos d�gitos somam 9(n-2), o racioc�nio � equivalente: queremos distribuir �negativamente� um total de 18 unidades, com o cuidado de eliminar todas as soluc�es com uma das vari�veis maior que 9 (pois n�o poder�amos ter um d�gito menor que zero, no n�mero formado). Temos que o total de soluc�es n�o negativas de A1+...+An=18 vale (n+17)! / [ (n-1)! * 18! ] .
E , para o total de soluc�es com uma das vari�veis maior que 9, basta imaginar que uma das vari�veis j� tem o offset de 10, de forma que queremos as solucoes nao negativas de A1+...+An = 8 , que vale (n+7)! / [ (n-1)! * 8! ] . Esse n�mero deve ser multiplicado por n , pois temos n escolhas para a vari�vel com o offset de 10.
Dessa forma, o total para este caso � (n+17)! / [ (n-1)! * 18! ] - n*(n+7)! / [ (n-1)! * 8! ]
Assim, provar que , para n>3, o primeiro caso � menor que o segundo caso, � o mesmo que provar que
(n+8)! /9! + 9n* (n+7)! / 9! < (n+17)! / 18!
ou 10n+8 < (n+17)*(n+16)*...*(n+8) * 9!/18!
Isso � o mesmo que provar que (chamando Ln de L): L(10n+8) < L(n+17) + L(n+16) +...+ L(n+8) + L(9!/18!)
Observemos que a derivada dos dois lados �
10/(10n+8) < 1/(n+17) + 1/(n+16) +...+ 1/(n+8) + 0
pois cada um dos termos � direita � maior que 1/(10n+8) , fazendo com que o lado direito seja sempre maior que o esquerdo.
Assim, como para n=3 os dois lados valem L(38), e para qualquer n>=3, a derivada da direita � sempre maior que a derivada do lado esquerdo, a desigualdade � verdadeira.
Abra�os, Rog�rio.
--------------------------------------- Oi Rogerio,
que tal o enunciado abaixo?
Seja n um n�mero natural, n > 3.
Demonstrar que entre os m�ltiplos de 9 menores que 10^n h� mais n�meros com a
soma de seus d�gitos igual a 9(n-2) que n�meros com a soma de seus d�gitos igual a 9(n-1).
At� mais. Felipe M.
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