on 02.06.04 02:46, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ol� Cl�udio! > > > g(x) = x^2*|x| n�o esta def. em 0, pois g(0)=0^0, uma > indetermina�ao, logo essa fun�ao nao tem raiz nesse > int. e o dominio deve ser restringido. > g(x) eh igual a (x ao quadrado) vezes (modulo de x). Tambem pode-se escrever g(x) = |x^3|.
> > Ah, continuando minha resolu�ao, corrigindo que a > fun�ao f � impar... > > assim f(x)=-f(-x) > se f(x)=p(x), onde p(x) � um polinomio pertencente a P_n > teremos que p(x)=-p(-x)=> acho que v�o cancelar se > todos os termos de grau �mpar. e os de grau par vao dar > O. Mais precisamente, como p(-x) = -p(x), p(x) soh terah monomios de grau impar. Em particular, grau(p(x)) serah impar. > > Se n � par, de imediato temos que o polinomio tem grau > n-1 pois a_n=0 o que � uma contradi�ao, pois admitimos > que p(x) tinha grau n. > Jah foi deduzido acima que grau(p(x)) eh impar. > Se n=2k+1 � �mpar: > > Observe que f(0)=P(0)=0 => o termo independende de P � > nulo. > Alem disso, P(1)=f(1)=> > P(1)=a_1+a_3+...+a_(2k+1)=1 > Isso tambem jah se sabia. > Alguem tem alguma sugestao ai a partir daqui? > Bem. Como p(0) = 0, p(1/2) = 1/4 e p(1) = 1, grau(p(x)) nao pode ser 1. Logo, soh pode ser grau(p(x)) >= 3. Como p(0) = 0, podemos escrever: p(x) = x*(a_1 + a_3*x^2 + a_5*x^4 + ... + a_(2n+1)*x^(2n)) = x*|x|. Ou seja, para x <> 0, teremos: |x| = a_1 + a_3*x^2 + a_5*x^4 + ... + a_(2n+1)*x^(2n), onde n >= 1 e a_(2n+1) <> 0. Agora, tome x = 1/(n+2), 2/(n+2), ..., (n+1)/(n+2), sucessivamente. Estes n+1 valores de x determinam de modo unico os (n+1) coeficientes a_1, a_3, ..., a_(2n+1). Finalmente, verifique se 1 = |1| = a_1 + a_3 + ... + a_(2n+1). Nao fiz as contas, mas imagino que voce consiga chegar numa contradicao. Em suma: acho melhor usar derivadas, como fez o Artur. []s, Claudio. >>> Prove que f :[-1,1] -> R dada por: >>> f(x) = x*|x| nao � funcao polinomial. >>> ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
