Para provar isto, acho que podemos fazer o seguinte. De modo a facilitar, consideremos uma funcao de U em R, sendo U um aberto de R^2 contendo (0,0). Para todos (u,v) em U temos que f(u,v) - f(0,0) = f(u,v) - f(u,0) + f(u,0) -f(0,0). Como as derivadas parciais de f existem em U, podemos aplicar o teorema do valor medio, caso unidimensional, aa restricao de f ao segmento que une (u,0) a (u,v), obtendo um ponto y neste segmento tal que f(u,v) - f(u,0) = v*f_2(y), sendo f_2 a derivada parcial de f com relacao a x_2. Faca algo similar com relacao aa diferenca f(u,0) - f(0,0). Observe que existe um M>0 tal que, para todo x em U, ||f_1(x)|| <=M e ||f_2(x)|| <=M. Considere a desigualdade do triangulo e veja o que acontece com ||f(u,v) - f(0,0)|| quando (u,v) -> (0,0).
Tambem interesante eh provar o seguinte fato que, ao que me parece, naum eh muito conhecido: Uma condicao suficiente para que f:R^n -> R seja diferenciavel em um ponto interior x de seu dominio eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e que todas outras existam e sejam continuas em uma vizinhanca de x. (Esta condicao naum eh necessaria) Quando n>=2, dizemos que f eh diferenciavel em x se existir uma funcao linear L:R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h fique no dominio de f, tenhamos f(x+a) - f(x) = L(h) + o(||h||), onde o eh uma funcao tal que o(h)/||h|| ->0 quando ||h|| -> 0. A funcao L (que depende de x) eh a derivada de f em x. No caso unidimensional, a derivada de f em x, caso exista, seria, segundo esta definicao, a funcao que a cada u associa o numero real f'(x)* u. Mas aih eh muito mais simples e conveniente ver f'(x) naum como uma funcao mas como um numero real. Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao Data: 05/05/04 19:52 Cla�dio Achei a id�ia muito boa e eu n�o consegui achar erros. Agora, gra�as a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual j� me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela � cont�nua. Valeu... _________________________________________________________________ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
