Seja (*) f(m+f(n))=f(f(m)) + f(n).
Fa�a m=n=0: Isso nos d� f(0)=0.
Fa�a n=0: f(m)=f(f(m)). Ent�o (*) vira f(m+f(n)) = f(m)+f(n).
Seja I = {0,1,2,...,2002}.
Caso 1: f se anula todo o conjunto I.
Fazendo n=2003, temos que f(m+2003) = f(m) + 2003, logo os valores de f s�o 0,0, ...,0,2003,2003, ...,2003,4006,4006, ... 4006,6009,.... ou seja, f(m) = 2003*(parte inteira [m/2003])
Caso 2: f n�o se anula em todo o conjunto I.
Seja u o menor valor positivo de f(I). Ent�o existe k em I tal que f(k) = u. Fazendo n = k, temos que f(m+u)=f(m)+u . Usando isso repetidas vezes, temos que f(j*u) = j*u, para todo inteiro j. Agora divida 2003 por u: Temos que 2003 = q *u+r, onde 0<=r<u. Ent�o , fazendo m=r e n=qu, temos que
f(r+f(qu)) = f(r)+f(qu), logo f(r+qu) = f(r) + qu, logo f(2003) = f(r) + qu, ou seja, f(r) = 2003 - qu = r, logo f(r) = r. Como r est� na imagem de f, temos que r = 0, ou r >= u (este segundo caso n�o pode, pois r < u). Logo, u � divisor de 2003, portanto (como 2003 � primo), temos que u=1 ou u=2003.
se u = 2003 (como � m�nimo), temos que os valores de f s�o 0, 2003, 2003, ...,2003, 4006,4006, ..., 4006, 6009,... ou seja, f(m) = 2003*(1+parte inteira[(m-1)/2003]).
se u = 1, temos que f(m+1) = f(m) + 1, logo (por indu��o), temos que f(m) = m.
Isso d� o total de 3 fun��es.
Abra�os,
Villard
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De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada Cearense
Data: 25/04/04 23:18
> ent�o parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) <= 2003, ent�o temos
> 2004 valores para f(1), cada um determinando uma fun��o diferente.
>
> acho que � isso...
opa, mas f(2003) = 2003
2003 = q*k + r => f(2003) = f(q*k + r) = (q + r)k <=> r = 0 <=> k|2003
ent�o temos que tomar f(1) como divisor de 2003
desculpem pelo erro bobo, espero que agora sim esteja correto!
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