Fabiano Cardoso said: > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ah ta, > agora peguei a ideia...O que ce quer e que, >> em itera�oes sucessivas de subtrair, apare�a algum >> fatorial no final.Mas 4! nao e 60... >> [...] > > me desculpe se tenho dificuldades para formular o > problema mas e que eu estou conjecturando, o seguinte: > para potencia de 4, voce deveria iterar 4 vezes. Isso > nao e por acaso se voce listar mais que 6 potencias de > 4 vera que o 24 vai repetir na 4 iteracao > para 4 primeiras > 0 > 1 1 > 16 15 14 > 81 65 50 36 > 256 175 110 60 24 > 625 369 194 84 24 > [...]
Vou provar esse resultado por indu��o. Obviamente, isso � verdade para 0-�simas e 1-�simas pot�ncias. Suponha que o resultado vale para k-�simas pot�ncias, k = 0, 1, ..., p. Note que se a_n � uma sequ�ncia de inteiros e D(a_n) = a_(n+1) - a_n, ent�o D(a_n + b_n) = D(a_n) + D(b_n) e D(C*a_n) = C*D(a_n). Eu vou representar D(D(D(...(D(a_n))...))), onde h� p D's como D^p(a_n). Queremos provar que D^(p+1)(n^(p+1)) = p!. Mas D^(p+1)(n^(p+1)) = D^p((n+1)^(p+1)-n^(p+1)) = D^p(C(p+1;1)*n^p + C(p+1;2)*n^(p-1) + ... + C(p+1;p+1)*n^0) = C(p+1;1)*D^p(n^p) + C(p+1;2)*D^p(n^(p-1)) + ... + C(p+1;p+1)*D^p(n^0). Mas se a > b, D^a(n^b) = 0: pela hip�tese de indu��o, D^b(n^b) = b!, logo D^(b+1)(n^b) = D(D^b(n^b)) = D(b!). Mas b! � uma seq�encia constante, logo D(b!) = b! - b! = 0. Como, obviamente, D^k(0) = 0, segue que D^a(n^b) = 0. Portanto, s� o primeiro termo da s�rie � n�o-nulo, logo D^(p+1)(n^(p+1)) = C(p+1;1)*D^p(n^p) = (por hip�tese de indu��o) (p+1)*p! = (p+1)!. []s, -- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
