Ol�, tinha um problema na lista que perguntava o que se pode dizer sobre k,
um inteiro para o qual, dado um primo p, podemos particionar
{1, 2, 3, ..., k} em p partes cuja soma de elementos em cada parte � a
mesma.
Infelizmente n�o achei a mensagem original...
Fiz algum progresso nesse problema, vejam:
primeiramente d� pra perceber que p|k(k+1)/2, logo p|k ou p|k+1.
Vou provar que se k = 2pq � sempre poss�vel particionar o conjunto.
k(k+1)/2 = pq(2pq+1)
portanto cada parte ter� soma q(2pq+1). Defina
P_1 = {1, k, 2, k-1, 3, k-2, ..., q, k-q+1}
P_2 = {q+1, k-q, ..., 2q, k-2q+1}
...
P_p = {(p-1)q+1, k-(p-1)q, ..., pq, k-pq+1}
Com um pouco de reflex�o vemos que os conjuntos acima de fato formam uma
parti��o de {1, 2, ..., k} e a soma dos elementos de cada parti��o � q(k+1)
= q(2pq+1), como desejado.
se k+1 = 2pq, podemos fazer algo similar:
k(k+1)/2 = pq(2pq-1)
portanto cada parte ter� soma q(2pq-1) = qk. Defina
P_1 = {1, k-1, 2, k-2, ..., q, k-q}
P_2 = {q+1, k-q-1, ..., 2q, k-2q}
...
P_p = {(p-1)q+1, k-(p-1q)-1, ..., pq-1, k-pq+1} U {k}
que tamb�m serve de parti��o de {1, 2, ..., k} com a propriedade desejada,
ou seja, cada parte soma qk.
Agora a quest�o que fica �, se p|k e k/p � �mpar ou p|k+1 e (k+1)/p � �mpar,
� poss�vel particionar o conjunto em p partes de mesma soma?
[ ]'s
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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