Lembre-se de que geometria nao depende de desenho!
Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Bom Rafael, eu tentei por esse caminho.Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande.Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado � o lado BC.Agora tome I como incentro de ABC, M o p� da bissetriz relativa a BC, N o p� da bissetriz relativa a AC e P o p� da bissetriz relativa a AB.Olhando para o tri�ngulo AIB, como a>b podemos afirmar que BI>AIOlhando para o tri�ngulo AIC, como a>c podemos afirmar que CI>AIAgora, se conseguirmos provar que IM<IN e IM<IP, terminamos nossa demonstra��o.tra�ando os raios do c�rculo inscrito, formamos 3 triangulos ret�ngulos com I e os p�s das bissetrizes.analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o �ngulo N vale b+2c.comoa+2c > b+2c,ent�o MI<NI (as hipotenusas s�o inversamente proporcionais aos �ngulos, facilmente demonstrado pela rela��o de seno)Logo, ja sabemos que AM<BN.tome o �ngulo BPC, ele vale 2a+c.tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos obtidos por �ngulo externo)Como BPC>AMC, o �ngulo P do tri�ngulo ret�ngulo � menor do que o �ngulo M, do outro tri�ngulo ret�ngulo.Logo IP>MIent�o, CP>AMCreio que est� provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) � menos do que BN e CP.O que voc�s acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh)PS: com um desenho seria bem mais simples explicar.Abra�os do Rossi----- Original Message -----Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AMSubject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um tri�nguloAcho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...
rafsanco <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Ol� para todos !
Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um tri�ngulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prov�-lo da
seguinte forma (infelizmente n�o disponho de recursos
visuais, ent�o usem a imagina��o ou esbo�em o desenho
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja
ABC um tri�ngulo qualquer, BC seu maior lado, I seu
incentro, x a medida do angulo interno de v�rtice A, y
a medida do �ngulo interno de v�rtice B, z a medida do
�ngulo interno de v�rtice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x � oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o tri�ngulo AIC, v�-se que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o tri�ngulo AIB � verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! AI. Ora IM, IN e
IO s�o segmentos de reta congruentes, visto que s�o
raios da circunfer�ncia inscrita a ABC, ent�o BI + IO >
AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, est�
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha
demonstra��o � v�lida ou h� algo nela que a compromete
(sei l�, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Voc�s
conhecem alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a por favor.
Abra�os,
Rafael.
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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