Ol� Ricardo e demais participantes desta discuss�o!
Considere o conjunto de todas as permuta��es de (1234): (1243), (3214), ...
cada permuta��o dessas pode ser representada com uma bije��o
f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a fun��o seria f(1)=1,
f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, ent�o, em construir uma opera��o com
as permuta��es, atrav�s da composi��o de fun��es. Vou dar um exemplo
(1243) � representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3
(3214) � representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4
(1243) * (3241) � representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2,
h(3)=1, h(4)=3
portanto (1243) * (3241) = (4213)
Das opera��es tradicionais com fun��es, se conclui que "*" � associativa
a*(b*c)=(a*b)*c, n�o � em geral comutativa, se considerarmos identidade = i
= (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permuta��o tem uma
inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i.
Vamos definir uma fun��o N:permuta��es->naturais que conta numa determinada
permuta��o p, quantos s�o os pares de n�meros da esquerda para a direita na
permuta��o est�o com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na
ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21),
(41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um
resultado que � simples
LEMA. Cada vez que trocamos dois n�meros de posi��o numa permuta��o p e
obtemos uma nova permuta��o p', o n�mero N(p)-N(p') � �mpar. (por exemplo,
de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3)
Com base neste lema fazemos a seguinte defini��o, que � consistente
DEFINI��O. Dizemos que uma permuta��o p � PAR (�MPAR) se a quantidade de
trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar � i =
identidade � PAR (�MPAR). Ou o que � no mesmo, p � PAR (�MPAR) se N(p) � um
n�mero PAR (�MPAR).
O sgn(p) = 1 se p � PAR e -1 se p � �MPAR.
Pode-se mostrar que para cada permuta��o p, existe uma matriz M (reordena��o
das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base can�nica �
o mesmo que de p sobre o seu �ndice M(e_i) = e_(f(i)) onde f � a fun��o
associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composi��o de matrizes se relaciona
com a composi��o de fun��es, e da� sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b).
Espero ter ajudado!
Eduardo.
From: RICARDO CHAVES
Esse tal de signum da permuta�ao e voce fazer o produtorio
>From: [EMAIL PROTECTED]
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permuta��es pares e
�mpares
>Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400
>
>
> "Cl�udio \(Pr�tica\)"
>
> ora.com.br> cc:
> Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permuta��es
> [EMAIL PROTECTED] pares e �mpares
> .puc-rio.br
>
>
> 04/02/2003 06:12
> Favor responder a
> obm-l
>
>
>
>
>
>
>
>
> Querido Cl�udio,
>
>
>
> Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, �
>
> o que possu�mos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agrade�o sua
>
> colabora��o, com a qual atualizo-me e avan�o.
>
> Cl�udio, n�o sei a defini��o de permuta��es pares e �mpares, n�o sei
>
> quando o sinal ? sgn(p) - ser� positivo ou negativo.
>
> Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explica��es.
>
> Desde j�, muito grato, Jo�o Carlos.
> O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y
.
>
>
>Caro Jo�o Carlos:
>
>A f�rmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) � a seguinte:
>
>det(A) = SOMAT�RIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
> p em Sn
>
>onde A(i,j) � o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
>permuta��o
>"p" (+1 se p � par, -1 se p
>� �mopar) e onde a soma � tomada sobre cada permuta��o p dos n�meros 1, 2,
>..., n (o conjunto de todas estas permuta��es � comumente denominado Sn)
>ou
>seja, � uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
>elementos
>da matriz.
>
>Assim, para n >= 4 esta f�rmula, apesar de correta (�, de fato, a defini��o
>de determinante) � muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
>alguns teoremas sobre determinantes - tais como expans�o de Laplace ou
>sobre
>o efeito de opera��es elementares com linhas e colunas - que permitem que
>voc� reduza o problema ao c�lculo de determinantes de ordem menor.
>
>O que deve estar acontecendo � que, com n >= 4, o n�mero de termos � >= 24
>e
>talvez voc� esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.
>
>Espero que isso ajude.
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>
>
>----- Original Message -----
>From:
>To:
>Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
>Subject: [obm-l] Determinantes e Permuta��es pares e �mpares
>
>
>No volume 3, A Matem�tica do Ensino M�dio da SBM, p. 137, h� regra de
>c�lculo determinantes por meio de permuta��es pares e �mpares. Por�m, n�o
>estou conseguindo aplic�-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual
>a 4. Expliquem-me.
>
>
> ATT. Jo�o Carlos
>
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