� isso a�, colega Fischer!
Quanto �s outras quest�es.
3) Se n � composto, por exemplo n=2x3, separe U6 = 11 11 11 ou ent�o U6 =
111 111. Fica f�cil de ver que U6 = 11 x10101 = 111 x1001. D� pra adaptar
sem problemas para o caso n composto qualquer, s� que eu n�o vou escrever do
modo "bonitinho" por que s� iria obscurecer a id�ia, que � muito simples.
4) Quantos s�o os a, 2a, 3a, ..., ba divis�veis por b ? O menor deles que o
b divide � mmc(a,b)/a . a depois vem 2 mmc(a,b)/a . a, ..., at� mdc(a,b)
mmc(a,b)/a . a = b.a Acho que � isso.
5) T� dif�cil de entender sua nota��o cheia de cracas... mas se eu entendi o
problema como segue: � poss�vel repartir um conjunto de p (primo) inteiros
consecutivos em dois conjuntos de soma igual, sempre ? Se for isso, a
resposta � n�o. Tome {2, 3, 4} como contra-exemplo.
6) Vale aquela rela��o (n�o � dic�fil de mostrar, fica como exerc�cio) se a
== b (mod n) e P � um polin�mio de coeficientes inteiros ent�o P(a) == P(b)
(mod n). No caso do problema sabe-se que P(-1), P(0) e P(1) n�o s�o
divis�veis por 3. Se n � um inteiro qualquer n == -1, 0 ou 1 (mod 3) logo
P(n) == P(-1), P(0) ou P(1) (mod 3) logo n�o � divis�vel por 3 e portanto
P(n) n�o pode valer 0.
8) Eu sei que � verdade, pois segue de um resultado famoso que se mdc(a,b)=1
ent�o existem infinitos primos em a, a+b, a+2b, ... Agora eu n�o se se �
f�cil demonstrar que para qualquer p primo, existem primos deixando todos os
restos poss�veis (exceto zero) na divis�o por p. Isto �, existe uma prova
elementar desse fato? Eu acho que n�o, mas � bom ouvir outros da lista.
Abra�o,
ao Eduardo e aos demais!
From: Eduardo Fischer
>
>Que tal essa:
>
>Nenhum n�mero que acaba em 11 como 1111...1111 pode ser quadrado perfeito
pois � >congruente a 3 ( m�d ) 4.
>
>7)Cada n�mero correspondendo a um resto, de 1 a 7:
>
> 1 2 3 4 5 6 7
>29, 2, 3, 11, 5, 13, 7
From: Marcelo Souza
Esta primeira parece ser f�cil...
1. Um n�mero A formado por trezentos d�gitos iguais a um n�o pode ser um
quadraado perfeito pq naum eh potencia par de 3, j� que tera apenas um fator
3 , sendo assim naum eh quadrado perfeito. Espero naum ter errado o
raciocinio....pareceu muito simples.
[]'s, Marcelo
>From: "Roberto Gomes"
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Teoria dos N�meros
>Date: Fri, 15 Nov 2002 19:22:49 +0000
>
>Problemas do livro de teoria dos n�meros do Jos� Pl�nio de Oliveira Santos,
que n�o consegui resolver.
>
>1. Pode o n�mero A=11111....11 formdo por trezentos 1's ser um qadrado?
>
>2. Mostrar que todo inteiro maior do que 11 � soma de dois inteiros
compostos.
>
>3. Seja Un = 111...1 um n�mero formados por n 1's. Provar que Un primo
implica n primo.
>
>4. Provar que se d = mdc(a,b), ent�o d � o n�mero de inteiros na seq��ncia
a, 2a, 3a, ...., ba que s�o divis�veis pr b.
>
>5. Seja p primo e M um conjunto de p inteiros consecutivos. � poss�vel
encontrar M1 e M2 subconjuntos de M tais que M1 � M2 = M, M1� M2 =� , Mi � �
de forma que
>
>P i = P j ?
>i �M1 j � M2
>
>6. Seja f(x) um polin�mio com coeficientes inteiros. Mostrar que se f(-1),
f(0) e f(1) n�o s�o diviss�veis por 3, ent�o f(n) � 0 para todo n.
>
>7. Encontrar um sistema completo de res�duos m�dulo 7 onde todos os
elementos s�o n�meros primos.
>
>8. Dado um primo p � sempre poss�vel encontrar um sistema completo de
res�duo m�dulo p formado s� por primos? Justivicar.
>
>
>Obrigado pela aten��o de todos.
>
>Roberto Gomes, Recife-PE
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta
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