> ... Sobre origamis,
>
> Origamis (principalmente por permitir movimentos do tipo "deslizar", o que aí 
> já entra topologia além
> da geometria) sao capazes de "performar" operacoes que a régua e o compasso 
> nao permitem
> (nao sei se isso aparece na reportagem que nao consegui ler, se estou 
> chovendo no molhado
> me desculpem).
>
> Mas sempre achei muito interessante isso, por exemplo existe um procedimento 
> em origami
> que trissecta um ângulo dado (um dos três problemas clássicos de régua e 
> compasso que nao tem
> solucao, conforme se deduz da álgebra das extensoes de corpos - os outros 
> dois sao
> a quadratura do círculo e a duplicacao do cubo).

O artigo em questão não menciona isso.  Um local onde isto é
apresentado de maneira elementar e minimamente detalhada é o livro
"Lectures on the Foundations of Mathematics" [0] (um livro sobre
*fundamentos da matemática* BEM diferente dos tradicionais), do
Hamkins.  Na seção 4.3 o autor explica que as construções com régua e
compasso podem ser efetuadas, equivalentemente, com o auxílio de sete
dobraduras de origami fundamentais.  Se formas adicionais de dobradura
forem permitidas, pode-se ir estritamente além da construtibilidade
euclidiana [1].  Com efeito, com a adição de apenas mais uma dobradura
fundamental, é possível resolver equações cúbicas arbitrárias sobre os
números racionais (o teorema de Gauss-Wantzel mostra que isto não é
possível usando apenas régua e compasso).  Como corolário, é possível
resolver assim o problema da trissecção do ângulo.

Outras formas de construção geométrica são mencionadas no livro do
Hamkins.  Uma delas é a construtibilidade via espirógrafo [2], a qual
também transcende a construtibilidade euclidiana (o Hamkins não
menciona uma referência para este resultado, e eu também não
procurei).  Parece-me que um bom problema (em aberto?) para uma
estudante de pós-graduação que queira aparecer na Quanta Magazine
seria o de mostrar que espirógrafos também são Turing-completos.

Abraços,
Joao Marcos


[0] Hamkins, Joel David. Lectures on the Philosophy of Mathematics.
MIT Press, 2021.
[1] Geretschläger, Robert. "Euclidean constructions and the geometry
of origami." Mathematics Magazine 68.5 (1995): 357-371.
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Espir%C3%B3grafo

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